立体几何问题的模型化处理(一).doc

直击高考思想方法系列之立体几何问题的模型化处理中学立体几何的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究。高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明。通常利用 “构造模型法”突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力。常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等。一、构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。例1 对于直线m、n和平面，下面问题中的真命题是（ ）A.如果m、n是异面直线，那么nB.如果m、n是异面直线，那么n与a相交C.如果na，m、n共面，那么mnD.如果ma,na，m、n共面，那么mn分析：构造正方体，如图1.对于选项A，设a为平面ABCD，m为AB，n为C1C，则na，故A错。对于选项B，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1D1，则na，故答案B错。对于选项D,设a为平面AC，m为A1B1，n为B1C1，此时m与n相交于B1，故答案D错。正确答案为C，事实上，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1B1，ABA1B1，mn.例2 由空间上一点O出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角。解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O到四个顶点A、B、C、D连线所夹的角相等，则AOD就是所求的角。设正方体的棱长为a，则,则所求角为.评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中。因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决。正四面体的体积是它外接“正方体”体积的.即，并可由这个模型推导出正四面体的体积(a为四面体的棱长）。例3 已知平面及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥；（3）正四面体。问这三个几何体在平面上的射影可以为正方形吗？请加以说明。分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起至一定高度可使其在底面（即水平面）上的射影可变为正方形。对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断。对于（2），如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，分别在BB1、DD1上取E、F，使得，则四棱锥A1AEC1F符合条件。对于（3），把正四面体A1BC1D放在正方体ABCDA1B1C1D1，如图4，即可得其在底面a上射影为正方形。评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得到一个正方形。例4 已知PA平面ABC，ACB=90,PA=AC=BC,求AB与PC所成的角。解：构建一个正方体，如图5，PC与AB两异面直线所成的角为DB与AB所成的角，而ABD是等边三角形，PC与AB成60角。评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交。二、构造长方体模型解题在某些类似的问题，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型。例5 過球O的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，且PA=，PB=，PC=，求球O的半径。分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，球O就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O的直径，设半径等于R，则有，.评注：从同一点出发的三条棱两两相互垂直，其长度分别为a、b、c，就可以构造长方体模型，外接圆的直径就是对角线的长，所以.例6 已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积。分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.通过分析已知条件，构造长方体ABCDA1B1C1D1，如图6，其中四面体D1AB1C符合条件。令AC=5，B1C=6，AB1=7，由勾股定理得AB2=19,BC2=6,AA12=30.评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的.例5是全日制普通高中教科书数学第二册（下A）第73页例2的改编题，该题是2003年全国高考理科第12题和2005年辽宁省高考题理科17题中第3小题的原形题。三、构造“三节棍”模型解题全日制普通高中教科书（实验修订本必修）第二同（下B）第80页复习参考题九第2题给出了三条棱AB、BC、CD两两互相垂直的四面体ABCD（图7），这是一个很有用的几何模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质：（1）CD平面ABC，AB平面BCD；（2）相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE面ACD，CF面ABC），此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们把它称为“三节棍”模型。利用此模型，可解决棱柱或棱锥中的线线、线面的垂直问题，应用十分广泛。例7 如图8，在三棱锥ABCD中，AB、BC、CD两两垂直。（1）由该棱锥所有相邻的两价目面组成的二面角中，哪些是直二面角？（2）若AD与平面BCD成45，AD与平面ABC所成角30，求二面角BADC的余弦值。分析：（1）可由找三棱锥各个方面的垂线入手，AB、BC、CD两两垂直成“三节棍”模型，AB面BCD,AB平面ABD,面ABD面BCD，且面ABC面BCD。同理，ABDC，ABCD，DACB等都是直二面角。（2）由AB平面BCD，可得ADB，即为AD与平面BCD所成的角，ADB=45.同理，DAC=30,作BEAC,垂足为E，作BFAD垂足为F，连结EF，可得BE平面ACD。BFADEFAD,BFE是二面角BADC的平面角。EF=AFtan30=AF,BF=AFtan(9045)=AF,即二面角BADC的余弦值为.例8 如图9，在四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧画PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。分析：（1）略。（2）PAAD,ADDC,即PA、AD、DC两两垂直。PA、AD、DC构成了一个三节棍模型。过D作AC的垂线DF交AB于F，由性质（2）DF面PAC，且知ADF=,连结PF，则N为PF的中点即为所求的点。ENDF,而DF面PAC，EN面PAC。此时，N到AB的距离为.评注：这是2005年湖北省高考理科第20题，第（2）问中，要在平面PAB内找一点N，使EN垂直平面PAC，具有一定的难度，它主要考查非正常位置下的三垂线定理的应用，这是立体几何的重点和难点。因此，这个模型的应用具有一般性。再看下面例子：例9 （2005年，福建，理20）如图10，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长2为的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面BCE；（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。分析：（1）易证AE平面BCE。在（2）中，DAAE,AEEB，即DA、AE、EB两两垂直，构成了三节棍模型。所以取AB的中点M，则EMAB。EM面ABC，过M作MNAC，垂足为N，连结EN，则ENM为所求二面角BACE的平面角，在RtEMN中，易算得.（3）略。评述：该题当然还有其他解法，但题目中存在有这样的一个三节棍型，为顺利作出二面角BACE的平面角找到了突破口。例10 （2005年全国卷I第18题改编）如图11，已知四边形为直角梯形，ADCD，BAD=90,PA平面ABCD,CD=2,PA=AB=AB=1,E为PC的中点。（1）求证：EB平面PAD；（2）求直线BD与平面PCD所成的角；（3）求二面角APCD的大小。分析：（1）取PD中点F，连结AF、EF，EFDC，EFAB.四边形ABEF是平行四边形，故BEAF，而AF面PAD，BE面PAD。（2）图11中，PA、AD、DC构成了三节棍模型。PA=AD,F为PD的中点，AFPD.由性质（2）知AF面PCD，BE面PCD，故BDE为所求的角。经计算,直线BD与平面PCD成30角。（3）过F作PC的垂线FG，垂足为G。FGA为二面角APCD的平面角。RtPFGRtPCD,，在RtPFG中，,即二面角APCD的大小为.上面几例，是在已知图形中已有了现成的三节棍，但很多问题中，不一定都存在现成的模型，这样，在解题中要根据已知条件，设法构造出三节棍模型来，请看下面例子：例11（2005年，浙江，理18）如图12，在三棱锥PABC中，ABBC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。（1）求证：OD平面PAB；（2）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小。（3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的垂心？分析：（1）略。（2）取BC的中点E，连结OE、PE，由已知条件PO、OE、EC两两互相垂直，由此可得一个三节棍模型。ODPA，可转化为OD与平面PEC所成的角的大小，作OFPE，垂足为F，连结FD，由性质（2）,则OF面PEC，ODF是OD与平面PEC所成的角。在RtODF，,PA与面PBC所成的角为.（3）略。所谓三节棍模型，其本质就是利用三垂线定理（或其逆定理）解题，而三垂经定