动力学方程 拉格朗日方程

1 3拉格朗日方程 为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程 拉格朗日方程 需要先导出达朗伯 拉格朗日方程 一 达朗伯 拉格朗日方程 设受完整约束的力学体系有n个质点 体系中每一个质点都服从如下形式的牛顿运动定律 设第i个质点受主动力 受约束反力 则 称为达朗伯惯性力或称有效力 注意 这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念 那里的惯性力是对某一非惯性系而言的 而上式中各质点的并不相等 所以这里并不存在一个统一的非惯性系 以点乘上式后 再对i取和 得 理想约束条件下 则 这是达朗伯原理与虚功原理的结合 称为达朗伯 拉格朗日方程 由于存在约束 各并不彼此独立 因此不能令上式中前面的所有乘式都等于零 否则就成为自由质点的运动微分方程了 二 基本形式的拉格朗日方程 现在我们从达朗伯 拉格朗日方程出发 把各并不彼此独立的坐标用各彼此独立的广义坐标重新表述 从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的动力学方程 拉格朗日方程 设n个质点受k个约束 因是完整约束 体系的自由度数应为s 3n k 以广义坐标表出 则 代入达朗伯 拉格朗日方程 上式中的两个取和号互不相关 故可以互易 则 令 则 因各 q 互相独立 所以P Q 改写 由 令 显然T是体系的动能 则有 即 这就是著名的拉格朗日方程 也称基本形式的拉格朗日方程 或称第二类拉格朗日方程 其中广义坐标q q t 所以上式是以t为自变量的广义坐标q 的s个二阶常微分方程组 只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力Q1 Q2 Qs 就可以代入上式 从而得到体系的动力学方程组 再求解 就可得到体系的运动方程 三 广义动量与广义力的计算 对于单个质点来说 动能对某速度分量的导数是对应的动量分量 与此类比 可以定义广义动量p 为 注意 广义动量可以是线动量 也可以是角动量等等 视广义坐标的选择而定 而广义力 广义力可以是力 也可以是力矩等 视广义坐标的选择而定 计算广义力的方法可以有两种 一种方法是从上定义式直接计算 另一种方法是从主动力所作的虚功来计算 1 从主动力所作的虚功来计算 如求Q1 令 q2 q3 qs 0 则 2 从定义式直接计算 求任一广义力Q 时 例3 计算一自由质点取平面极坐标的广义力 设质点P受力 广义坐标q1 r q2 与此两广义坐标对应的广义力为Qr和Q 求Qr与Q 用两种方法 解方法一 从定义式计算 将定义式用于极坐标 因粒子数n 1 则 又因x rcos y rsin 则 可见广义力的径向分量就是的径向分量 说明Qr是一个力 另外 上式括号中的第一项为Fx在方向的投影 第二项是Fy在方向的投影 所以两者之和就是在方向的投影F 因此Q rF 是力矩 可见广义力的横向分量Q 是力矩 方法二 从主动力所作的虚功来计算 则 则 两种方法的结果一致 四 保守力学系的拉格朗日方程 实际上 在很多情况下我们仅遇见保守力学系 对于保守力学系 存在势能 则对任一个质点有 分量式为 现在把广义力与势能函数连系起来 代入基本形式的拉格朗日方程 则 注意 一般势能函数不显含时间和速度变量 即 V V x1 y1 z1 xn yn zn V q1 q2 qs 则 令L T V 则 与 代入最顶上一式 L T V叫拉格朗日函数 一般L是广义坐标 广义速度和时间的函数 即 简记为 这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日方程 因为用得较多 就直接称它为拉格朗日方程 当取广义坐标和广义速度为独立变量时 只要知道了L 就可以求出q 所满足的动力学方程 从而可求出体系的全部力学性质 因此 我们说 取广义坐标和广义速度为变量时 拉格朗日函数L是力学体系的一个特性函数 五 循环积分与能量积分 拉格朗日方程是s个二阶常微分方程组 我们希望也像牛顿力学一样 若能首先对微分方程组积分一次 找出某些初积分 或叫第一积分 使我们对某些问题的求解能简便些 在某些情况下 部分的第一积分容易得到 1 循环积分 一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和广义速度 广义动量 及时间t的函数 即 若L中不显含某一广义坐标qj 则称qj为循环坐标 也叫可遗坐标 这时有 代入拉格朗日方程 则 可见 当L函数中不含某广义坐标qj时 这个qj即循环坐标所对应的广义动量就是守恒量 称为循环积分 这表明 对任一循环坐标 都对应有一个循环积分 解 设质点的质量为m 因为只有一个质点 故n 1 自由质点只受有心力作用时 作平面曲线运动 所以s 2 取极坐标 r 为广义坐标 则有 可见L函数中不含 所以 是循环坐标 则 例4 求一自由质点在有心力场中的循环积分 2 能量积分 体系是否能量守恒的问题 由拉格朗日方程得到能量积分需要一定的条件 1 若n个质点组成的受理想约束的完整系只受保守力作用 称为完整的保守的力学体系 设其自由度数为s 先求体系以q 表示的动能式 因 所以 则体系的动能 则 上式中的T2 T1和T0分别是广义速度的二次 一次 零次函数 其中a a a都仍是广义坐标q 1 2 s 及t的函数 有时不显含t 但仍是t的隐函数 不然就不会出现了 2 对于稳定约束 而且T V不显含t的完整保守力学系的分析 先应用一个结论 后面证明 因T V中不显含t T V E 恒量 这就是力学体系的能量积分 可见拉格朗日方程