随机变量的内涵外延考.doc

随机变量的内涵外延考张曜光（浙江省金华市教育局教研室 321017）在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示。在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量（random variable） 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-3 A版. 北京：人民教育出版社2006第2版第44页.由于现阶段学生数学工具的局限性，人教A版教材没有对随机变量下内涵定义，只是想让学生通过具体的随机试验，归纳出随机变量的概念。也就是说试图下一个外延定义，但外延定义要求描述一个概念所包含的所有对象，这显然是困难的。引导学生经历概念的形成过程，使概念出得自然、水到渠成，是我们每个教师应该追求的目标，作为这个过程的引导者教师，首先就要对随机变量的内涵要有准确、清晰的认识。本文尝试努力靠近目标。一.讲随机变量要不要拓展到概率空间查阅文献，对于随机变量最严格的定义有以下两个：定义1 设(，F，P)为概率空间，=() ()是定义在上的单值实函数，若对于任一实数x，的集合：()x是一随机事件，亦即()xF，则称()为随机变量.条件()xF也可改为对于直线上的任一波莱尔点集BB1，有()BF. 数学辞海编辑委员会 编.数学辞海第四卷.北京：中国科学技术出版社.2002.定义2 设(,F,P)为概率空间，=()为定义在上的实函数，若对于任何实数x有x：()xF,则称为随机变量，或F可测函数. 李勇，张淑梅统计学导论 人民邮电出版社 北京： 2007这样的定义是全面且有前瞻性的。因为要全面了解一个随机变量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取这些值的规律，即要掌握它的概率分布。概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。也就为为什么要引入随机变量找到了缘由。陈柏良老师的教学设计大概是考虑到这一点，对随机变量的教学走了从随机现象到随机变量，再从随机变量到概率的路线。这样的理解应该说是难能可贵的，没有对随机变量全面系统的了解，是不可能有这样的想法的。对于数学的理解，特别是不熟悉的领域，我们由于缺乏对数学概念全面系统的了解，讲课就深刻不起来，就缺少联系性，更谈不上生动。教师应该比学生知道得更多，当然不一定把知道的都告诉学生。我们的教学设计起码要考虑两点：1. 随机变量本质的东西解决了没有？解决了可以考虑；2.学情的定位，我们面对的毕竟是中学生。从课堂教学的实施来看，不仅是对随机变量本质的理解有问题，而且学生也不可能理解你前瞻性的作用。所以还是和教材的定义吻合起来讲为妥，拓展到概率空间后续还有机会。二.随机变量定义于基本事件空间还是样本空间定义3 随机变量是指定义于基本事件空间=上的单值实函数(). 数学辞海编辑委员会 编.数学辞海第一卷.北京：中国科学技术出版社.2002.第705页.定义4 设E是随机试验，它的样本空间是S=e,如果对于每一个eS有一个实数X(e)和它对应，这样就得到一个定义在S上的实值单值函数X(e)，称X(e)为随机变量 浙江大学数学系高等数学教研组编概率论与数理统计.北京： 人民教育出版社1979。面对还是问程老师吧！这两个定义，我们首先是感到亲近了许多，但同时又产生一个疑问：随机变量究竟是定义在基本事件空间，还是定义在样本空间？这对后续的概率计算会带来影响。按照定义3应该首先对随机试验进行基本事件的确定，然后再确定每个基本事件与实数的对应关系但对一个具体的随机试验，基本事件的确定并不唯一。例如：100件产品中有5件次品，其余为正品，现从这批产品中有放回地任抽4次，每次抽一件，则抽出的4件产品中恰有一件次品这一事件按二项分布，此事件包含着4个基本事件、样本空间包括着16个基本事件（属非古典概型)；若按古典概型，此事件包含着45 95 = 17147500个基本事件，样本空间包括1004个基本事件基本事件的概率计算会出现不同的结果课题进程告诉我们，基本事件怎样确定本来就是一个很玄的问题，现在要使这些基本事件与实数对应，定义中没有任何表示就又成了一个更玄的问题如果按照定义4定义在样本空间，暂时好像不会发生什么问题，但是后续的概率计算真的离得开基本事件？我目前没有理由不怀疑。三.随机变量的教学解构定义5 设随机试验的样本空间为，若对于每一个可能的试验结果(样本点)，都唯一地存在一个实数值X ()与之对应，且对所有的实数a，|X ()a是随机事件，则称X ()为一个随机变量，简单地记作X。常用大写拉丁字母X，Y (或希腊字母，)等表示随机变量。 曹才翰 主编.中国中学教学百科全书数学卷.沈阳：沈阳出版社.1991.第230页.定义6 随机变量是描述随机试验结果的变量。随机试验的每一个可能出现的结果都对应于随机变量的取值。 中国小学教学百科全书总编辑委员会教育卷编辑委员会 编;李春生 主编.中国小学教学百科全书教育卷.沈阳：沈阳出版社.1993.第142页.按出处，定义5是给中学教师的，本质地说随机变量是样本空间到实数集之间的一个映射。定义6是给小学教师的。简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。在教学中，我们从“概念的形成”的角度看，可以关注以下几个方面：1.随机现象的再认识，有的随机现象表现为数量，例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些随机现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等。2.随机现象表现的一致化，如在人口的男女性别问题中，我们可以规定男性为1，女性为0，在试验结果的阳性或阴性的问题中，我们也可以规定阳性为1，阴性为0，等等，则非数量标志也可以用数量来表示。3.随机变量的本质，是样本点到实数的一个映射。它区别于函数关系下的变量。4.随机变量的随机性，这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。5.更多实例的支撑，教材中只提供掷一枚硬币出现的正反面，掷一颗骰子时出现的点数的例子，面可能过于狭窄，帮助学生体会需要更多的实例，让学生再举一些例子是一种方法，也可以拓广到以下的情形，以利于学生对随机变量外延的认识。例如，随机掷两个骰子，整个事件空间可以由36个元素组成：S=(i,j)|i=1,6；j=1,6这里可以构成多个随机变量，比如随机变量X ( 获得的两个骰子的点数和 ) 或者随机变量Y ( 获得的两个骰子的点数差)，随机变量 X 可以有 11 个整数值，而随机变量Y 只有6 个。X(i,j)：=i +j，x=2，3，12Y(i,j)：=|i-j|，y=0，1，2，3，4，5四.隐匿连续型随机变量不利于学生随机变量的完整建立建立了随机变量的概念后，再讲随机变量的两个类别：连续型随机变量和离散型随机变量，使得学生增加一个对随机变量外延的认识角度，应该是顺理成章的。讲起来也并不费时费力。离散型随机变量与连续型随机变量放在一起就可以类比学生熟悉的数列与函数。当然数列也是函数，但它的取值是自然数，取值是离散的，而一般的函数取值是某一个区间，在这区间内取值往往是可以连续的。 离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量，比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量，k的取值只能是自然数0，1，2，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。 如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量，比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是0,15)，它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、等，因而称这随机变量是连续型随机变量。教材的处理是分析数学化之后的随机变量取值的集合的特征，分辨随机变量的类型，即某些随机变量的取值是离散的，而有些不是，从而给出离散型随机变量的概念。这样的处理总觉得别扭，把简单问题复杂化了。可能对随机变量的理解留下这样两个隐患：1.随机变量可能离散、可能连续，还有可能既非离散也不连续；2.后面设置的思考题：问电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量。之后