高三数学一轮复习 第六章《数列》61精品课件.ppt

课程标准1 数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公式 了解数列是一种特殊函数 2 等差数列 等比数列 通过实例 理解等差数列 等比数列的概念 探索并掌握等差数列 等比数列的通项公式与前n项和的公式 能在具体的问题情境中 发现数列的等差关系或等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 体会等差数列 等比数列与一次函数 指数函数的关系 命题趋势主要命题热点 1 an与sn的关系2 等差 等比数列的定义 通项公式以及等差 等比数列的性质 求和公式 3 简单的递推数列及归纳 猜想 证明问题 4 数列与函数 方程 不等式 三角 解析几何综合问题 5 数列应用题 6 探究性问题 备考指南1 数列是一种特殊的函数 要善于利用函数的思想来解决数列问题 2 运用方程的思想解等差 比 数列是常见题型 解决此类问题需要抓住基本量a1 d 或q 常通过 设而不求 整体代入 来简化运算 3 分类讨论的思想在本章尤为突出 如等比数列求和时 公式q 1与q 1等 学习时考虑问题要全面 4 等价转化在数列中的应用 如通过an与sn之间的关系 将一些数列转化成等差 比 数列来解决等 复习时要及时总结归纳 5 灵活应用定义和等差 比 数列的性质是学好本章的关键 6 要善于总结基本数学方法 如类比法 错位相减法 待定系数法 归纳法 数形结合法 养成良好的学习习惯 定能达到事半功倍的效果 重点难点重点 数列的定义和通项公式 难点 正确运用数列的递推关系解答数列问题 知识归纳一 数列的概念1 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数 从函数观点看 数列是定义域为的函数f n 当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f 1 f 2 f n 正整数集 或它的有限子集 2 数列的通项公式一个数列的第n项an与之间的函数关系 如果可以用一个公式an f n 来表示 这个公式叫做这个数列的通项公式 二 数列的分类1 按照项数是有限还是无限分 有穷数列与无穷数列 2 按照项与项之间的大小关系分 递增数列 递减数列 摆动数列和常数列 项数n 一 求数列的通项公式常见的有以下类型1 已知数列的前几项 写出一个通项公式 依据数列前几项的特点归纳出通项公式 方法是依据数列的排列规律 求出项与项数的关系 一般步骤是 定符号 定分子 定分母 综合写出项与项数的关系 三 定 的依据是前后项的变化规律及与项数的关系 要特别注意以下数列特点 二 注意数列的两个性质 1 单调性 若an 1 an 则 an 为递增数列 若an 1 an 则 an 为递减数列 否则为摆动数列或常数数列 2 周期性 若an k an n n k为非零常数 则 an 为周期数列 k为 an 的一个周期 2 倒序相加法如果一个数列 an 与首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么求这个数列的前n项和可用 乘公比 错位相减 法进行 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 4 裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差 各项随n的变化而变化 前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法 5 分组求和法当一个数列的通项由几个项构成 各个项构成等差或等比数列时 可分为几个数列分别求和再相加 总结评述 根据数列的前几项写通项时 所求的通项公式不是惟一的 其中常用方法是观察法 观察an与n之间的联系 用归纳法写出一个通项公式 体现了由特殊到一般的思维规律 联想与转换是有效的思维方法 它是由已知认识未知 将未知转化为已知的重要思维方法 2010 湖南 若数列 an 满足 对任意的n n 只有有限个正整数m使得am n成立 记这样的m的个数为 an 则得到一个新数列 an 例如 若数列 an 是1 2 3 n 则数列 an 是0 1 2 n 1 已知对任意的n n an n2 则 a5 an 解析 由 an 的定义知 a5 即满足am5 这样的m值有两个 1和2 故 a5 2 而数列 an 为 1 22 32 42 n2 a1 0 a2 1 a3 1 a4 1 a5 2 a6 2 a7 2 a8 2 a9 2 a10 3 a11 3 a12 3 a13 3 a14 3 a15 3 a16 3 答案 2 n2 点评 1 准确理解 an 的定义是解决本题的关键 an 实质就是在自然数的平方列 an 中 小于n的个数 它又组构成一个数列 an 而 an 则是在数列 an 中小于n的数的个数 2 本题难度很大 编选此题供开拓视野用 不做统一要求 点评 新课标对递推数列要求降低了许多 这一部分内容 只要能用递推关系写出前几项 会观察规律即可 其它解法供学生拓展视野 提升能力 不作一般要求 答案 a 答案 an 4n 2点评 将an sn sn 1代入得到sn与sn 1的递推关系式 然后可归纳得到通项公式或变形归结为等差 或等比 数列 这是解决此类问题的一般思路 已知数列 an 的前n项和sn n2 9n 第k项满足5 ak 8 则k a 9b 8c 7d 6解析 a1 s1 8 n 2时 an sn sn 1 10 2n n 1也满足 an 2n 10 由5 ak 8 得5 2k 10 8 又k n k 8 答案 b点评 注意分类讨论思想在数列中的应用 点评 数列本质上也是函数 应注意函数的知识与思想方法在数列中的应用 等差 等比数列的通项公式 前n项和的公式都可以看成某量的方程 通过解方程或方程组来求某些量 已知数列 an 的通项公式是an n2 kn 2 若对任意n n 都有an 1 an成立 则实数k的取值范围是 a k 0b k 1c k 2d k 3 答案 d 答案 a 答案 b 例6 已知函数f x x2 2x 数列 an 的前n项和为sn 对一切正整数n 点pn n sn 都在函数f x 的图象上 且过点pn n sn 的切线的斜率为kn 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn 2kn an 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 点pn n sn 在函数f x x2 2x的图象上 sn n2 2n 当n 1时 a1 s1 3 当n 2时 an sn sn 1 n2 2n n 1 2 2 n 1 2n 1 当n 1时 也满足an 2n 1 故an 2n 1 2 由f x x2 2x求导可得 f x 2x 2 过点pn n sn 的切线的斜率为kn kn 2n 2 又 bn 2kn an 22n 2 2n 1 4 2n 1 4n tn 4 3 4 4 5 42 4 7 43 4 2n 1 4n 由 4可得 4tn 4 3 42 4 5 43 4 7 44 4 2n 1 4n 1 可得 3tn 4 12 2 42 43 4n 2n 1 4n 1 答案 d 点评 本题主要考查数列的概念 通项公式的求法 及错位相减法求和 一 选择题1 给定数列1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则这个数列的一个通项公式是 a an 2n2 3n 1b an n2 5n 5c an 2n3 3n2 3n 1d an 2n3 n2 n 2 答案 c 解析 当n 1时 a1 1 否定a d 当n 3时 a3 35 否定b 故选c 2 2010 安徽文 设数列 n 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15b 16c 49d 64 答案 a 解析 当n 2时 an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1当n 1时 a1 1适合上式 an 2n 1 故a8 15 点评 an sn sn 1对n 2的任何自然数都成立 故求a8 可直接由a8 s8 s7获得 答案