高考数学一轮复习 4函数的概念与表示课件 （文） 新人教A版.ppt

2020 2 13 第二模块函数 2020 2 13 第四讲函数及其表示 2020 2 13 回归课本1 函数的概念设集合a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对a中的任意一个数x 在集合b中 都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 其中x叫做自变量 自变量的取值范围叫做这个函数的定义域 自变量取值a 则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值 记作y f a 所有函数值构成的集合 y y f x x a 叫做这个函数的值域 2020 2 13 2 构成函数的要素 定义域 对应关系 值域 3 两个函数的相等当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时 这两个函数才是同一个函数 4 常用的函数表示法 1 解析法 2 列表法 3 图象法 2020 2 13 5 分段函数在函数的定义域内 对于自变量x的不同取值区间 有着不同的对应法则 这样的函数通常叫做分段函数 6 映射的概念设a b是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个元素x 在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应 那么就称f为从集合a到集合b的一个映射 记作 f a b 2020 2 13 考点陪练 1 2011 湖南 给定k n 设函数f n n 满足 对于任意大于k的正整数n f n n k 1 设k 1 则其中一个函数f在n 1处的函数值为 2 设k 4 且当n 4时 2 f n 3 则不同的函数f的个数为 2020 2 13 解析 1 由法则f是正整数到正整数的映射 因为k 1 所以从2开始都是一一对应的 而1可以和任何一个正整数对应 故f在n 1处的函数值为任意的a a为正整数 2 因为2 f n 3 所以根据映射的概念可得到 1 2 3 4只能是和2或者3对应 1可以和2对应 也可以和3对应 有2种对应方法 同理 2 3 4都有两种对应方法 由乘法原理 得不同函数f的个数等于16 答案 1 a a为正整数 2 16 2020 2 13 2020 2 13 解析 当两个函数的解析式和定义域完全相同时 这两个函数相等 同时满足这两个条件的只有a b中x 0 c中x r d中x r 答案 a 2020 2 13 3 设集合m x 0 x 2 n y 0 y 2 则在下面4个图形中 能表示集合m到集合n的函数关系的有 a b c d 解析 由函数的定义易知 成立 故选c 答案 c 2020 2 13 2020 2 13 解析 a中f x 的定义域是 x x 0 g x 的定义域是 x x 0或x 1 f x 与g x 的定义域不同 f x 与g x 不是相等函数 b中f x 的定义域为 x x r 且x 2 g x 的定义域为r f x 与g x 的定义域不同 f x 与g x 不是相等函数 c中f x g t 虽然自变量用不同的字母表示 但定义域 对应关系都相同 所以f x g t 表示相同函数 2020 2 13 d中f n g n 的对应关系不同 所以不是相等函数 所以应选c 答案 c 2020 2 13 评析 根据函数的三要素 从定义域 值域 对应关系等方面对所给的函数进行分析判断 判断两个函数是否相同 只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 它们也不一定是相等函数 因为定义域 值域不能唯一地确定函数的对应关系 此外 两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关 2020 2 13 5 已知集合a x y y f x x 1 2 集合b x y x 0 则a b的子集的个数是 a 0b 1c 2d 不确定解析 函数f x 定义在 1 2 上 所以由函数定义知当x 0时有唯一的y与之对应 即直线x 0与函数图象有唯一交点 故a b中有一个元素 有2个子集 故选c 答案 c 2020 2 13 6 已知映射f a b 其中集合b 2 0 4 10 集合b中的元素都是集合a中的元素在映射f下的对应元素 且对任意的a a 在b中和它对应的元素是 a 1 a 2 那么集合a中元素的个数最多可能是 a 4b 6c 8d 10 2020 2 13 解析 当 a 1 a 2 10时 得a 4 3 当 a 1 a 2 4时 得a 3 2 当 a 1 a 2 0时 得a 2 1 当 a 1 a 2 2时 得a 0 1 所以根据映射的定义知集合a中元素最多可能有4 3 3 2 2 1 0 1 一共8个 故选c 答案 c 2020 2 13 类型一函数的基本概念解题准备 1 函数是指两个非空数集a b之间的一种对应关系 它要求集合a中的任意一个数 在集合b中都有唯一的数f x 与之对应 2 两个函数相等是指函数的三要素相同 由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定 因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可 2020 2 13 典例1 1 函数y f x x d与直线x 2交点个数为 2020 2 13 解析 1 当x 2 d时 根据函数定义a中任何一个自变量在b中都有唯一元素和它对应 即有且只有一个交点 当x 2d时 无交点 2 命题p中两函数的定义域不同 p是假命题 命题q中两函数对应关系不同 q也是假命题 所以p q是假命题 反思感悟 两个函数的定义域 值域和对应关系中有一个不同 它们就不表示相等的函数 答案 1 0个或1个 2 假 2020 2 13 类型二求函数的解析式解题准备 求函数解析式的常用方法有 1 配凑法 2 换元法 3 待定系数法 4 消元法等 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 类型三分段函数解题准备 1 对于分段函数 一定要明确自变量所属的范围 以便于选择与之相应的对应关系 2 分段函数体现了数学的分类思想 相应的问题处理应分段解决 2020 2 13 分析 先根据f 2 1求出解析式中参数t的值 再进一步求的值 2020 2 13 答案 8 2020 2 13 反思感悟 对于分段函数给定自变量求函数值时 应根据自变量的范围 利用相应的解析式直接求解 若给定函数值求自变量 应根据函数每一段的解析式分别求解 但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内 2020 2 13 探究 某市某种类型的出租车 规定3千米内起步价8元 即行程不超过3千米 一律收8元 若超过3千米 除起步价外 超过部分再按1 5元 千米收费计价 若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱 下车后乘客付了16元 则乘客乘车里程的范围是 单位 千米 2020 2 13 2020 2 13 类型四抽象函数解题准备 抽象函数是一个难点 解决抽象函数问题 要全面应用所具有的性质展开解题思路 通常方法是赋值法 并善于根据题目条件寻找该函数模型 帮助探求解题思路和方法 2020 2 13 典例4 已知函数对任意的实数a b 都有f ab f a f b 成立 1 求f 0 f 1 的值 2 求证 3 若f 2 m f 3 n m n均为常数 求f 36 的值 2020 2 13 解 1 对a b r 有f ab f a f b 令a b 0 得f 0 f 0 f 0 f 0 0 令a b 1 得f 1 0 2020 2 13 2020 2 13 错源一换元不等价 2020 2 13 剖析 错解中采用了换元法 但换元前后变量取值范围不相等 所以错解中f x 定义域为r是错的 f x 定义域应为变量t的取值范围 2020 2 13 评析 在应用换元法时应注意 换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化 所以新元的取值范围必须由原来的变量决定 2020 2 13 错源二解析式化简不等价导致函数定义域变大 2020 2 13 剖析 本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简 导致扩大了自变量x的取值范围 答案 x x r x 1且x 2 2020 2 13 技法求函数解析式的方法一 特殊值法 典例1 已知对一切x y r 关系式f x y f x 2x y 1 y都成立 且f 0 1 求f x 解题切入点 由f x y f x 2x y 1 y对一切x y r都成立 可根据需要对x y进行赋值 本题可令x 0 2020 2 13 解 因为f x y f x 2x y 1 y对一切x y r都成立 所以令x 0 得f y f 0 1 y y 又f 0 1 所以f y y2 y 1 再令x y 得f x x2 x 1 2020 2 13 方法与技巧 当所给函数的等式中有两个变量时 可对这两个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入 再用已知条件 可求出未知的函数 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 方法与技巧 已知f g x h x 求f x 的问题 可先用g x 表示h x 然后再将g x 用x代替 即得f x 的解析式 2020 2 13 三 换元法 2020 2 13 2020 2 13 方法与技巧 若已知条件中没有给出函数的具体解析式 但给出了函数的某种关系 可结合整体思想采用换元法 把解析式的某一部分设为一个变量进行求解 注意新变量的范围 2020 2 13 四 待定系数法 典例4 已知f x 是二次函数 且f x 1 f x 1 2x2 4x 4 求f x 解 设f x ax2 bx c f x 1 f x 1 2ax2 2bx 2a 2c 2x2 4x 4 对应得a 1 b 2 c 1 所以f x x2 2x 1 方法与技巧 已知函数式的构造模式时可用 2020 2 13 五 转化法 典例5 设f x 是定义在 上的函数 对一切x r 均有f x f x 2 0 当 1 x 1时 f x 2x 1 求当1 x 3时 函数f x 的解析