高中数学 32均值不等式 精品课件同步导学 新人教B版必修5.ppt

3 2均值不等式 1 同向不等式可以相加 但不能或 2 判定不等式是否成立 常利用不等式的及函数的和等方法 3 在不等式的变形过程中 要遵循的原则 相减 相除 基本性质 单调性 特殊值 等价变形 1 均值定理 又称基本不等式或均值不等式 1 形式 2 成立的前提条件 3 等号成立的条件 当且仅当时取等号 a b r a b 2 算术平均值和几何平均值 1 定义叫做正实数a b的算术平均值 叫做正实数a b的几何平均值 2 结论两个正实数的算术平均值它们的几何平均值 大于或等于 3 应用基本不等式求最值如果x y都是正数 那么 若积xy是定值p 那么当时 和x y有值 若和x y是定值s 那么当时 积xy有值 上述命题可归纳为口诀 积定和最小 和定积最大 x y 最小 x y 最大 1 基本不等式中的a b可以是值为任意正数的代数式吗 思路点拨 先利用基本不等式求出m的范围 再利用指数函数的性质求出n的范围 从而得出m n的大小关系 答案 a 在应用均值不等式时 一定要注意是否满足条件 即a 0 b 0 若条件不满足时 则应拼凑出条件 即问题一端出现 和式 另一端出现 积式 便于运用均值不等式 答案 a b c d 思路点拨 因为不等式右边为常数 所以应把左边拆开 按照积为常数重新组合 分别利用基本不等式 利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 拆项 添项 配凑 变形 等方法创设应用均值不等式的条件 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池 平面图如下图所示 池外圈建造单价为每米200元 中间两条隔墙建造单价每米250元 池底建造单价为每平方米80元 池壁的厚度忽略不计 且池无盖 1 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低造价 2 若受场地限制 长与宽都不能超过25米 则污水池的最低造价为多少 思路点拨 以污水池的长或宽为自变量 表示出函数 总造价 无条件限制时 用基本不等式求最值 在限制条件下不能用基本不等式求最值时 考虑用函数单调性求最值 在求实际问题中的最值时 应按下面的思路来求解 1 先理解题意 设出变量 一般把要求最值的量定为函数 2 建立相应的函数关系 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题 3 在定义域内 求函数的最大值或最小值时 一般先考虑用均值不等式 当均值不等式求最值的条件不具备时 再考虑函数的单调性 4 正确写出答案 4 2008年湖北高考 如右图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 3 利用均值不等式求最值时 应注意的问题 1 各项均为正数 特别是出现对数式 三角函数式等形式时 要认真判断 2 求和的最小值需积为定值 求积的最大值需和为定值 3 确保等号成立 以上三个条件缺一不可 可概