高三数学总复习导与练 第二篇第一节配套课件（教师用） 理.ppt

第1节函数的基本概念 一 1 函数的基本概念 1 函数的定义 设a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 其中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的定义域 2 函数的值域 如果自变量取值a 则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值 记作y f a 所有函数值构成的集合 f x x a 叫做这个函数的值域 3 函数的三要素函数的三要素是定义域 值域和对应关系 其中值域被函数的定义域和对应关系完全确定 所以确定一个函数只需这两个要素即可 质疑探究1 若两个函数的定义域与值域相同 它们是否是同一函数 提示 不一定 如f x x 2和g x 2x 1的定义域和值域相同 即都为r 但它们不是同一函数 2 映射设a b是两个非空的集合 如果按照某一确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个元素x 在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应 那么就称对应f a b为从集合a到集合b的一个映射 质疑探究2 映射与函数有什么区别 提示 函数是特殊的映射 二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合 可以不是数集 而函数中的两个集合必须是非空数集 3 函数的表示方法表示函数的常用方法有 解析法 列表法和图象法 4 分段函数若函数在其定义域的不同子集上 因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 其值域等于各段函数的值域的并集 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 5 复合函数如果y是u的函数 记为y f u u又是x的函数 记为u g x 且g x 的值域与f u 的定义域的交集不空 则确定了一个y关于x的函数y f g x 这时y叫做x的复合函数 其中u叫做中间变量 y f u 叫做外层函数 u g x 叫做内层函数 解析 由对应关系可知f x 为常函数 所以f 2 故选b 思路点拨 可从函数的定义 定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断 两个函数是否是同一函数 关键是看两个函数的定义域和对应关系是否相同 定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数 特别注意 自变量习惯用x表示 当然也可以用其他字母表示 这对函数本身无影响 如f x x 1与f t t 1 g m m 1都表示同一函数 变式探究11 若一系列函数的解析式相同 值域相同但定义域不同 则称这些函数为 孪生函数 那么函数解析式为y 2x2 1 值域为 3 19 的 孪生函数 共有 个 解析 由2x2 1 3得x 1 由2x2 1 19得x 3 故所求定义域为两集合 1 1 和 3 3 的非空子集的并集构成 由于每个集合都有3个非空子集 所以所求函数共有9个 答案 9 思路点拨 依据映射的定义一一验证 解析 对于a 由于集合a中x 0时 x3 1 1 b 即a中元素0在集合b中没有元素与之对应 所以选项a不符合 同理可知b d两选项均不能构成a到b的映射 c符合 故选c 判断从集合a到集合b在对应关系f下 能否构成一个映射 关键是看集合a中的每一个元素在f下都能在集合b中找到唯一的元素与之对应 可以允许 多对一 或集合b中有的元素无a中元素对应 当a 8时 面积的最大值为定值 当8 a 16时 面积的最大值是一个以a为自变量的二次函数 且在区间 8 16 上是递减的 分类讨论思想是解决本题的关键 思路点拨 这是分段函数的变换问题 需要结合定义域作数值代换 求分段函数的函数值时 应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解 有时每段交替使用求值 若给出函数值求自变量值 应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围 例1 2010年北京西城质检 设f g都是由a到a的映射 其中a 1 2 3 其对应关系如下表 则f g 3 等于 a 1 b 2 c 3 d 无法确定 解析 由表中对应关系可知 g 3 1 f g 3 f 1 1 故选a 错源 忽视分段函数中自变量的限制条件 选题明细表 解析 根据函数的定义可知 对于任意一个自变量通过某个对应关系 都有唯一的函数值y与之对应 显然a b c均不符合函数定义 只有d符合 故选d 3 设g x 2x 3 g x 2 f x 则f x 等于 d a 2x 1 b 2x 1 c 2x 3 d 2x 7 解析 f x g x 2 2 x 2 3 2x 7 故选d 4 2010年合肥质检 已知集合a 1 2 3 b 1 0 1 满足条件f 3 f 1 f 2 的映射f a b的个数是 c a 2 b 4 c 7 d 6 解析 f 3 f 2 f 1 又f 2 f 1 f 0 f 3 f 0 又f 0 log24 2 f 3 2 故选b 6 2010年浙江宁波十校联考 值域为 2 5 10 其对应关系为y x2 1的函数个数为 c a 1 b 8 c 2