高中数学 3.4生活中的优化问题举例精品课件同步导学 新人教A版选修11.pptVIP

3 4生活中的优化问题举例 1 通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤 2 会利用导数解决某些实际问题 1 求解有关函数最大值 最小值的实际问题 重点 2 把实际问题转化成抽象的数学问题 难点 3 在解决实际问题时注意函数的定义域 易混点 低碳生活 low carbonlife 可以理解为减少二氧化碳的排放 就是低能量 低消耗 低开支的生活 低碳生活 节能环保 势在必行 现实生活中 当汽车行驶路程一定时 我们希望汽油的使用效率最高 即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶最长的路程 如何使汽油的使用效率最高 1 最优化问题 2 求实际问题的最值 主要步骤如下 1 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 求出 3 比较函数在区间端点和在的取值大小 确定其最大 小 者为最大 小 值 极值点 极值点 答案 d 答案 b 3 设一个容积v固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶 高为h 底面半径为r 已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍 则h r 时 造价最低 答案 4 1 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 故当x 80时 h x 取得极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形 然后把四边翻折90 再焊接而成 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 题后感悟 1 解决面积 容积的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积表示为变量的函数 结合实际问题的定义域 利用导数求解函数的最值 2 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 函数在 140 上单调递增 在 20 140 上单调递减 s x 的最小值为s 140 当x 140时 y 175 即当x 140 y 175时 s取得最小值24500 故当广告的高为140cm 宽为175cm时 可使广告的面积最小 已知a b两地相距200千米 一只船从a地逆水而行到b地 水速为8千米 小时 船在静水中的速度为v千米 小时 8 v v0 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12千米 小时时 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船在静水中的速度为多少 题后感悟 解决费用最省问题 也是导数的一个重要应用 解决这类问题 首先要选取合适的量为自变量 并确定其取值范围 然后将费用表示为自变量的函数 再利用导数求最值 使问题得到解决 2 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 题后感悟 正确理解题意 建立数学模型 利用导数求解是解题的主要思路 另外需特别注意 合理选择变量 正确给出函数表达式 与实际问题相联系 必要时注意分类讨论思想的应用 3 某集团为了获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 3 1 若该公司将当年的广告费控制在300万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 解析 1 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2时 f t 取得最大值4 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 2 设用于技术改造的资金为x 百万元 则用于广告促销的资金为 3 x 百万元 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 写出答案 特别提醒 根据课程标准的规定 有关函数最大值 最小值的实际问题一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果遇到函数在区间内只有一个点使f x 0 且该函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 就可以知道这就是最大 小 值 2 解应用题的思路和方法解应用题首先要在阅读材料 理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题 就是从实际问题出发 抽象概括 利用数学知识建立相应的数学模型 再利用数学知识对数学模型进行分析 研究 得到数学结论 然后再把数学结论返回到实际问题中去 其思路如下 1 审题 阅读理解文字表达的题意 分清条件和结论 找出问题的主要关系 2 建模 将文字语言转化成数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 把数学问题化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 4 对结果进行验证评估 定性定量分析 作出正确的判断 确定其答案 特别提醒 在将实际问题转化成数学问题时 要注意所设变量的取值范围 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本