高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题3 第16练 导数的综合应用 文 新人教版.doc

第16练导数的综合应用内容精要在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值比重占的也比较高，所以做好函数与导数解答题非常重要试题多以函数知识为载体，主要考查利用导数研究函数的性质，充分体现导数的工具性题型一利用导数研究函数图象例1函数f(x)x2sin xxcos x的图象大致是()破题切入点利用导数确定函数的单调性答案a解析方法一因为f(x)x2sin(x)xcos xf(x)，所以函数f(x)x2sin xxcos x为奇函数，图象关于原点对称，排除c，d，又当0x0，所以选择a.方法二因为f(x)x2sin(x)xcos xf(x)，所以函数f(x)x2sin xxcos x为奇函数，图象关于原点对称，排除c，d，又f(x)xsin xx2cos xcos xxsin x(x21)cos x，所以当0x0，函数单调递增，排除b，选择a.题型二利用导数研究函数的零点或方程的根例2设函数f(x)x3ax2ax，g(x)2x24xc.(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a1，当x3,4时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围破题切入点(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数(2)结合两个函数的图象求解解(1)f(x)x3ax2axx(x2axa)，令f(x)0，得x0或x2axa0.(*)显然方程(*)的根的判别式(a)24(a)a2aa(a)当a0时，0，方程(*)有两个非零实根，此时函数f(x)有3个零点；当a时，0，方程(*)有两个相等的非零实根，此时函数f(x)有2个零点；当a0时，0，方程(*)有两个相等的零实根，此时函数f(x)有1个零点；当a0时，0，方程(*)没有实根，此时函数f(x)有1个零点综上所述：当a0时，函数f(x)有3个零点；当a时，函数f(x)有2个零点；当a0时，函数f(x)只有1个零点(2)设f(x)g(x)，则x3ax2ax2x24xc，因为a1，所以cx3x23x.设f(x)x3x23x，x3,4，则f(x)x22x3，令f(x)0，解得x11，x23.当x变化时，f(x)和f(x)的变化如下表：x3(3，1)1(1，3)3(3，4)4f(x)00f(x)99由此可知f(x)在3，1，3,4上是增函数，在1,3上是减函数当x1时，f(x)取得极大值f(1)；当x3时，f(x)取得极小值f(3)9，而f(3)9，f(4).如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数f(x)与yc的图象有两个公共点，所以c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.破题切入点考查圆柱及球的表面积与体积求法，函数关系式的建立及实际问题中定义域的求解，通过求导判断函数的单调性，从而确定函数的最值等问题解(1)设容器的容积为v，由题意知vr2lr3，又v，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，03，所以c20.当r30时，r .令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r .总结提高(1)利用导数研究函数图象或方程的根、零点等问题，一般都是先求导得出函数的单调性与极值，然后再画出函数的大致图象(2)利用导数解决实际问题要注意：函数的定义域；极值和最值的区别；最后还原到实际问题中作答1已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()a b c d答案c解析f(x)x36x29xabc，ab0，f(3)275427abcabc0，且f(0)abcf(3)0，所以f(0)f(1)0.2.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案c解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除a，d；从适合f(x)0的点可以排除b.3已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为()a0 b1c2 d3答案a解析设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.4已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()a0f(2)f(3)f(3)f(2)b0f(3)f(3)f(2)f(2)c0f(3)f(2)f(3)f(2)d0f(3)f(2)f(3)f(3)记a(2，f(2)、b(3，f(3)，作直线ab，则直线ab的斜率kf(3)f(2)，由函数图象，可知k1kk20，即f(2)f(3)f(2)f(3)0.故选b.5已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)bf(x1)0，f(x2)0，f(x2)df(x1)答案d解析f(x)ln x2ax1，f(x1)0，f(x2)0，则ax1，ax2，f(x1)x1(ln x1ax1)x1(ln x11)，f(x2)x2(ln x21)，yln x与y2ax1交于两点，0x11，ln x10，f(x1).6设函数f(x)ax2bxc(a，b，cr)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()答案d解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.x1为函数f(x)ex的一个极值点，ca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，d中图象一定不满足条件7已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可8某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析yx239x40，令y0.即x239x400，解得x40或x1(舍)当x40时，y0，当0x40时，y0，所以当x40时，y最小9把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为_答案21解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积v2x(x312x236x)(0x0，又由h0可得r0，故v(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，v(r)0，故v(r)在(5,5)上为减函数由此可知，v(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大11(2013江苏)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是r上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则t1，所以m对任意t1成立因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)解令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0.所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0.故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数，所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.12(2013陕西)已知函数f(x)ex，xr.(1)求f(x)的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设ab，比较f与的大小，并说明理由(1)解f(x)的反函数为g(x)ln x，设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1.于是在点(1,0)处的切线方程为yx1.(2)证明方法一曲线yex与yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增(x)在x0处有唯一的极小值(0)0，即(x)在r上的最小值为(0)0.(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在r上是单调递增的，(x)在r上有唯一的零点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点方法二ex0，x2x10，曲