高二数学选修2-2导数精析(含答案).doc

高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确三、典型例题1求复合函数的导数例1求y sin（tan x2）的导数【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果2和、差、积、商的导数中的复合函数的导数例2求y sin 43 x cos3 4 x的导数【点评】复合函数为三层复合正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式例3求y 的导数【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数求导数后要予以化简整理3开阔思路，恰当选用求导数方法例4求y sin4x cos 4x的导数【解法一】y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x【解法二】y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步例5求y （0A 【解法一】y （0A y sin（）cos（）2 sin（）cos（）2 sin（）2 cos y(2 cos )sin 【解法二】y()()(1sin A)(cos A)(1sin A)cos A A （0，）（cos sin ）（cos sin ）sin 【解法三】 0A y （cos sin ）（cos sin ）2 cos ysin 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键解法二是从和的导数求导数入手后面的化简较繁例6曲线y x（x 1）（2x）有两条平行于直线y x的切线，求此二切线之间的距离【解】y x 3 x 2 2 xy3 x 22 x 2 令y1即3 x22 x 10，解得 x 或x 1于是切点为P（1，2），Q（，），过点P的切线方程为，y 2x 1即 x y 10显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为三、经典例题导讲例1已知,则 .错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解：设,则.例2已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？错解：。分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： f(x)在x=1处不可导.注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，x0，包括x0，与x0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例3求在点和处的切线方程。错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线解：即过点的切线的斜率为4，故切线为：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：点评： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标例4求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令，得，当时，；当时，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。点评： 在已知曲线 切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 例5已知，函数，设，记曲线在点处的切线为 . （1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为，求证： ；若，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1） 切线的方程为即.（2）依题意，切线方程中令y=0得， 由知，例6求抛物线 上的点到直线的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求. 解：根据题意可知，与直线 xy2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线xy2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么, 切点坐标为，切点到直线xy2=0的距离， 抛物线上的点到直线的最短距离为.三、经典例题导讲例1已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率 例2已知函数在上是减函数，求的取值范围.错解：在上是减函数，在上恒成立，对一切恒成立，即，.正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.例3当 ，证明不等式.证明：，则，当时。在内是增函数，即，又，当时，在内是减函数，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，从而导出及是解决本题的关键.例4设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例5函数，其中是的导函数.（1）对满足11的一切的值，都有0，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线3只有一个公共点.解：（1）由题意 令，对，恒有，即 即解得故时，对满足11的一切的值，都有.（2）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点.当时，恒有由题意得即解得综上，的取值范围是. 例6若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）分析：如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了.解：设到的距离为，则，于是，.当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. （0，）+-点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在x=0处的导数值为A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f(0)= =(x-1)(x-2)(x-100)=（-1）（-2）（-100）=100！ 选D.解法二 设f(x)=a101x101+ a100x100+ a1x+a0，则f(0)= a1，而a1=（-1）（-2）（-100）=100！. 选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f(x)=，nN*，则= .解 =2+=2f(2)+ f(2)=3 f(2)，又f(x)=，f(2)= （2）=(1+2)n-1= (3n-1).点评 导数定义中的“增量x”有多种形式，可以为正也可以为负，如，且其定义形式可以是，也可以是（令x=x-x0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s的等速度增加，则圆半径R=10 cm时，圆面积增加的速度是 .解 S=R2，而R=R(t)，=2 cm/s，=2R=4R，/R=10=4R/R=10=40 cm2/s.点评 R是t的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t而言的（R是中间变量），此题易出现“S=R2，S=2R，S/R=10=20 cm2/s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是A. B. C. D. 解 设过曲线y=sinx上点P的切线斜率角为，由题意知，tan=y=cosx.cosx-1，1， tan-1，1，又，.故选A.点评 函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线，y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，即k=tan(为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y=x3-ax2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a的值.解 点（0，1）不在曲线上，可设切点为（m,m3-am2）.而y=3x2-2ax，k切=3m3-2am，则切线方程为y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切线过（0，1），2m3-am2+1=0.(*)设（*）式左边为f(m)，f(m)=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f(m)=0有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a0”.由f(m)=2m3-am2+1，得f(m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令f(m)=0，得m=0，m=，a0，f(0)f()=0，即a0，-a3+1=0，a=3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、 B.、 C.、 D.、解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选C.点评 f(x)0（或，其中是方程f(x)=x的实数根；an+1=f(an)，nN*；f(x)的导数f(x)（0，1）.（1）证明：an，nN*；（2）判断an与an+1的大小，并证明你的结论.（1）证明：（数学归纳法）当n=1时，由题意知a1，原式成立.假设当n=k时，ak，成立.f(x)0，f(x)是单调递增函数.ak+1= f(ak) f()=，（是方程f(x)= x的实数根）即当n=k+1时，原式成立.故对于任意自然数N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0 f(x)0.g(x)在上是单调递增函数.而g()=-f()=0，g(x)g() (x)，即xf(x).又由（1）知，an，anf(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x0，比较A=xe-x，B=lg(1+x)，C=的大小.解 令f(x)=C-B=-lg(1+x)，则f(x)= 0，f(x)为上的增函数，f(x)f(0)=0，CB.令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，则当x0时，g(x)=0，g(x)为上的增函数，g(x)g(0)=0，BA.因此，CBA（x=0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=(a)，要证明当xa时，有f(a)=(a)，则只要设辅助函数F(x)= f(a)-(a)，然后证明F(x)在xa单调递减即可，并且这