高考数学总复习 第9单元第2节 椭圆2课件 文 苏教版.ppt

第二节椭圆 2 一般地 以 1 a b 0 为方程的椭圆 具有明显的几何性质 1 范围 2 对称性 关于 成轴对称图形 关于 成中心对称图形 基础梳理 3 顶点 椭圆有四个顶点 分别是 分别叫椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 和 a是长半轴的长 b是短半轴的长 4 叫做椭圆的离心率 记为e 0 e 1 离心率大小对椭圆形状的影响 当e越接近于1时 椭圆 当e越接近于0时 椭圆 5 椭圆的第二定义 平面内动点m到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e 0 e 1 的轨迹是 定点是 定直线是 常数e是 焦点在x轴上的椭圆 准线方程是 焦点在y轴上的椭圆 准线方程是 注意 e的几何意义是椭圆上一点到焦点的距离和它到对应准线的距离的比 1 选修2 1p32练习3改编 在椭圆4x2 9y2 36与中 更接近于圆的是 基础达标 解析 椭圆4x2 9y2 36的方程化为标准方程为 1 a 3 b 2 c2 a2 b2 5 所以离心率e1 同理可求椭圆 1的离心率e2 e1 e2 又因为椭圆的离心率越小 越接近于圆 所以更接近于圆的是 1 2 选修2 1p33习题6改编 椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上 则此椭圆的离心率为 解析 由题意可知b c 所以a2 2c2 所以离心率e 3 选修2 1p32练习5改编 椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分 则一焦点与短轴两端点连线的夹角是 90 解析 由题意知c 得a2 2c2 即b c 所以一焦点与短轴两端点连线的夹角是90 4 已知椭圆方程 1的一条准线方程是y 则实数m的值是 1 解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上 所以0 m 4 9 a2 9 b2 m 4 c2 5 m 一条准线方程是y 解得m 1 5 选修2 1p32习题5改编 已知椭圆的长轴长等于20 离心率等于 求该椭圆的标准方程为 解析 由已知得2a 20 e a 10 c 6 b2 a2 c2 64 由于椭圆的焦点可能在x轴上 也可能在y轴上 故所求椭圆的标准方程为 例1 已知点m在椭圆 1 a b 0 上 以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点f 1 若圆m与y轴相切 求椭圆的离心率 2 若圆m与y轴相交于a b两点 且 abm是边长为2的正三角形 求椭圆的方程 经典例题 题型一椭圆的几何性质 分析 根据直线与圆相切的条件求出点m的坐标 代入椭圆方程建立关于离心率的方程 解出离心率 根据图形的几何特征 椭圆的几何性质建立方程求解 解 1 由题意可知 点m的坐标为 c c 1 即 1 即 1 即e2 1 即e2 1 即e2 e4 e2 1 e2 即e4 3e2 1 0 e2 2 e 又e 0 1 e 2 把x c代入椭圆方程 1 得ym abm是边长为2的正三角形 圆m的半径r 2 m到y轴的距离d r d c 即c 2 又因为a2 b2 c2 所以a2 b2 3 代入得a2 2a 3 0 解得a 3 a 1 舍去 b2 2a 6 所求的椭圆方程为 1 2011 广东东莞五校联考 如图 椭圆的中心在原点 f为椭圆的左焦点 b为椭圆的一个顶点 过点b作与fb垂直的直线bp交x轴于p点 且椭圆的长半轴长a和短半轴长b是关于x的方程3x2 3cx 2c2 0 其中c为半焦距 的两个根 求椭圆的离心率 变式1 1 解 依题意 由根与系数的关系得 两式联立 得a2 b2 c2 又 b2 a2 c2 3a2 4c2 0 解得e 直接求出b c a c亦可 例2 已知p是椭圆 1 a b 0 上一点 f1 f2分别是左 右两个焦点 1 若 f1pf2 0 求证 f1pf2的面积为b2tan 2 若存在点p 使 f1pf2 90 求椭圆离心率的取值范围 分析 1 f1pf2为焦点三角形 设pf1 m pf2 n 则m n 2a 而s f1pf2 pf1 pf2 sin mn sin 只要将mn用m n表示出来即可 2 若求离心率e的取值范围 则必须依据条件 得到关于e的不等式来求解 解 1 证明 如图所示 设pf1 m pf2 n f1pf2的面积为s 则s mnsin 在 f1pf2中 2c 2 m2 n2 2mncos m n 2 2mn 1 cos m n 2a 1 cos 0 mn 由 得s b2tan 2 当 f1pf2 90 时 由 1 得4c2 4a2 2mn 又mn a2 当且仅当m n时取等号 4a2 4c2 2a2 e e的取值范围为 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 c 0 f2 c 0 若椭圆上存在一点p 使 则该椭圆的离心率的取值范围为 变式2 1 解析 因为在 pf1f2中 由正弦定理得 则又由已知 得 即pf1 pf2 由椭圆的定义得pf1 pf2 2a 则pf2 pf2 2a 解得pf2 由椭圆的几何性质知pf20 e2 2e 1 0 解得e 1 又e 0 1 该椭圆的离心率e 1 1 例3 2010 辽宁 设f1 f2分别为椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 过f2的直线l与椭圆c相交于a b两点 直线l的倾斜角为60 f1到直线l的距离为2 1 求椭圆c的焦距 2 如果 2 求椭圆c的方程 题型二直线与椭圆的位置关系 分析 1 利用f1到l的距离和l的倾斜角为60 求c的焦距 2 利用 2转化为a b两点纵坐标间的关系 利用两方程的联立来求解 解 1 设焦距为2c 由已知可得f1到直线l的距离c 2 故c 2 所以椭圆c的焦距为4 2 设a x1 y1 b x2 y2 由题意知y10 直线l的方程为y x 2 联立得 3a2 b2 y2 4b2y 3b4 0 解得y1 y2 因为 2 所以 y1 2y2 即 2 解得a 3 而a2 b2 4 所以b 故椭圆c的方程为 1 2010 山东改编 如图 已知椭圆 1 a b 0 过点 离心率为 左 右焦点分别为f1 f2 点p为直线l x y 2上且不在x轴上的任意一点 直线pf1和pf2与椭圆的交点分别为a b和c d o为坐标原点 1 求椭圆的标准方程 2 设直线pf1 pf2的斜率分别为k1 k2 求证 2 变式3 1 1 因为椭圆过点 e 所以 1 又a2 b2 c2 所以a b 1 c 1 故所求椭圆方程为 y2 1 2 证明 方法一 由于f1 1 0 f2 1 0 pf1 pf2的斜率分别为k1 k2 且点p不在x轴上 所以k1 k2 k1 0 k2 0 又直线pf1 pf2的方程分别为y k1 x 1 y k2 x 1 联立方程解得所以p 又点p在直线x y 2上 所以 2 因此2k1k2 3k1 k2 0 即 2 结论成立 方法二 设p x0 y0 则k1 k2 因为点p不在x轴上 所以y0 0 又x0 y0 2 所以 2 因此结论成立 例4 如图 有一块半椭圆形钢板 其长半轴长为2r 短半轴长为r 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 下底ab是半椭圆的短轴 上底cd的端点在椭圆上 记cd 2x 梯形面积为s 求面积s以x为自变量的函数式 并写出其定义域 分析 建立直角坐标系后写出椭圆方程 求出y与x的关系式 从而求出s与x的函数式 题型三椭圆的实际应用 解 依题意 以ab的中点o为原点建立直角坐标系xoy 如图 则半椭圆方程为 1 y 0 化简得y 2 0 x r s 2x 2r 2 2 x r 由s 0和c d不重合 得其定义域为 x 0 x r 已知某荒漠上有两个定点a b 它们相距2km 现准备在荒漠上开垦一片以ab为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园 按照规划 围墙总长为8km 问农艺园的最大面积能达到多少 变式4 1 解 设平行四边形的另两个顶点为c d 由围墙总长为8km得ca cb 4 ab 2 由椭圆的定义知 点c的轨迹是以a b为焦点 长轴长2a 4 焦距2c 2的椭圆 以ab所在直线为x轴 线段ab的中垂线为y轴 建立直角坐标系 则点c的轨迹方程为 1 y0 易知点d也在此椭圆上 要使平行四边形abcd面积最大 则以c d为此椭圆短轴的两端点 此时 面积s 2km2 例5 如图 已知椭圆 1内有一点p 1 1 f是椭圆的右焦点 在椭圆上有一点m 使mp 2mf的值最小 求m点的坐标 题型四椭圆第二定义及其应用 分析 利用椭圆的第二定义将点m到右焦点的距离转化为到右准线的距离 再利用图形直观地解答 解 如图 设m在右准线l上的射影为m 由椭圆方程可知a 2 b c 1 e 根据椭圆的第二定义 有 即mf mm mp 2mf mp mm 显然 p m m 三点共线时 mp mm 有最小值 过p作准线的垂线y 1 由方程组解得m 即m的坐标为 2 由 1 知f1 2 0 f2 2 0 直线af1的方程为y x 2 即3x 4y 6 0 直线af2的方程为x 2 由图形可知 f1af2的角平分线所在直线的斜率为正数 设p x y 为 f1af2的角平分线所在直线上任意一点 则有 x 2 若3x 4y 6 5x 10 则x 2y 8 0 其斜率为负数 不合题意 舍去 3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 f1af2的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 例 若椭圆的离心率e 则k的值为 易错警示 错解由已知a2 k 8 b2 9 又e e2 解得k 4 错解分析忽视了椭圆的焦点位置不确定 即焦点也有可能在y轴上的情况 1 若焦点在x轴上 即k 8 9时 a2 k 8 b2 9 e2 解得k 4 2 若焦点在y轴上 即0 k 8 9时 a2 9 b2 k 8 e2 解得k 综上 k 4或k 正解 1 2010 安徽 椭圆e经过点a 2 3 对称轴为坐标轴 焦点f1 f2在x轴上 离心率e 1 求椭圆e的方程 2 求 f1af2的角平分线所在直线的方程 链接高考 知识准备 1 椭圆的定义 标准方程及简单几何性质 2 知道角平分线的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等 3 会写直线的点斜式方程与一般式方程 4 知道点到直线的距离公式 解 1 设椭圆e的方程为 1 a b 0 由e 得 a 2c b2 a2 c2 3c2 1 将点a 2 3 代入 得 1 解得c 2 椭圆e的方程为 1 2 由 1 知f1 2 0 f2 2 0 直线af1的方程为y x 2 即3x 4y 6 0 直线af2的方程为x 2 由图形可知 f1af2的角平分线所在直线的斜率为正数 设p x y 为 f1af2的角平分线所在直线上任意一点 则有 x 2 若3x 4y 6 5x 10 则x 2y 8 0 其斜率为负数 不合题意 舍去 3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 f1af2的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 2 2010 湖南 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距8km的a b两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过a b两点的直线为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 如图 考察范围到a b两点的距离之和不超过10km的区域 1 求考察区域边界曲线的方程 2 如图所示 设线段p1p2是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动0 2km 以后每年移动的距离为前一年的2倍 问 经过多长时间 点a恰好在冰川边界