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习题2.4求解下列微分方程 （1）解：令，则方程可化为 即 分离变量得 即两边积分 即化简得把代入上式，化简得方程的解 （2）解：因为 所以令， 解方程 得把，代入原方程则原方程可化为令，则上面方程可化为即 分离变量得两边积分得即 化简得即把代入化简得把，代入上式化简得方程的解（3）. =解： =0 ， 则设则= 即 原方程为： = 化简为： = 分离变量得：= 得：= 即原方程通解为 ：（4）. =解 ：在方程两边同时乘以，得： ，令，则 原式为 ： （1）其对应的其次方程为： 解得通解为 在方程（1）两边同时乘以，即 即 厡方程通解为 （4）解：方程可变形为，给方程两边同乘以，得 +=，然后令 ，就有 ，这是关于未知函数的一阶线性方程，将方程改成如下形式 两边同乘以积分因子，得到方程 ，它的全微分形式为 由此直接积分， ，化简得化简得代入，得微分方程为5、求一曲线，使得连该曲线上任意点的切线与该点径向的交角等于。 解：设曲线y=y(x)，由已知得： 令 则 曲线方程为： 6、探照灯的反光镜（旋转曲面）应具有何种形状，才能使电光源发射的光束反射成平行线束？解：以光源为圆心，平行光束为x轴，y轴为经过圆心垂直于x轴的直线 设所求曲线方程 yf(x)，曲线上某点的切线斜率为,与它垂直的线的斜率为-由反光镜的原理 得-1+0(-) = +1+- 化简得：y+2x-y=0 =-2x(4x+4y)2y 化简得：=- ()+1 令 =u, y=xu =u + xdudx 代入式化简得：udu- (1+u)(1+u)=令 1+u=t , d(1+u)=d(t), udu=tdt则 = t1 = -x C x(t1) = C x(t1)=C t1=
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