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算法案例 秦九韶算法 在数学的发展史上 从公元前2 3世纪公元14世纪 中国的数学虽有过高潮 也有过低落 但一直走在世界的前列 是世界数学的中心 中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献 秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力 1 设计求多项式 当x 5时的值的算法 并写出程序 2 有没有更高效的算法 能否探求更好的算法 来解决任意多项式的求解问题 t引导学生把多项式变形为 思考 从内到外 如果把每一个括号都看成一个常数 那么变形后的式子中有哪些 一次式 x的系数依次是什么 3 若将x的值代入变形后的式子中 那么求值的计算过程是怎样的 将变形前x的系数乘以x的值 加上变形前的第2个系数 得到一个新的系数 将此系数继续乘以x的值 再加上变形前的第3个系数 又得到一个新的系数 继续对新系数做上面的变换 直到与变形前的最后一个系数相加 得到一个新的系数为止 这个系数即为所求多项式的值 这种算法即是 秦九韶算法 4 用秦九韶算法求多项式的值 与多项式组成有直接关系吗 用秦九韶算法计算上述多项式的值 需要多少次乘法运算和多少次加法运算 数书九章 秦九韶算法 对该多项式按下面的方式进行改写 思考 当知道了x的值后该如何求多项式的值 这是怎样的一种改写方式 最后的结果是什么 要求多项式的值 应该先算最内层的一次多项式的值 即 然后 由内到外逐层计算一次多项式的值 即 最后的一项是什么 这种将求一个n次多项式f x 的值转化成求n个一次多项式的值的方法 称为秦九韶算法 思考 在求多项式的值上 这是怎样的一个转化 通过一次式的反复计算 逐步得出高次多项式的值 对于一个n次多项式 只需做n次乘法和n次加法即可 秦九韶算法的特点 算法步骤 第一步 输入多项式次数n 最高次项的系数an和x的值 第二步 将v的值初始化为an 将i的值初始化为1 第三步 输入i次项的系数an i 第四步 v vx an i i i 1 第五步 判断i是否小于或等于n 若是 则返回第三步 否则 输出多项式的值v 程序框图 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤 因此可用循环结构来实现 输入an i 3 程序 input n ninput an ainput x xv ai n 1whilei 0print i iinput ai av v x ai i 1wendprintvend 小结 1 算法具有通用的特点 可以解决一类问题 2 解决同一类问题 可以有不
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