【优化方案】高考数学总复习 第2章第13课时导数的应用精品课件 文 新人教A版.ppt

第13课时导数的应用 第13课时导数的应用 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 温故夯基 面对高考 温故夯基 面对高考 1 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得 与 若函数在 a b 内是 该函数的最值必在 取得 连续不间断 最大值 最小值 可导的 极值点或区间端点处 2 解决优化问题的基本思路 考点探究 挑战高考 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2010年高考重庆卷 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b r g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 解 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意实数x 有a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 名师点评 实际应用中准确地确定函数解析式 确定函数定义域是关键 2010年高考安徽卷 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 思路分析 2 中构造函数g x ex x2 2ax 1 转化为求证g x 恒大于零 解 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 规律小结 对于类似本题中不等式证明而言 我们可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有知识 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 用导数方法证明不等式 其步骤一般是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 方法技巧 函数的最值与极值的辨析最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意 最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函 数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 失误防范1 已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 然后检验参数的值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 2 求函数最值时 要注意极值 端点值的比较3 要强化导数的工具性作用 在处理方程的根 不等式恒成立等问题时 注意导数的应用 考向瞭望 把脉高考 从近几年的广东高考试题来看 利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点 试题大多有难度 考查时多与函数的单调性 极值结合命题 考生学会做综合题的能力 预测2012年广东高考仍将以利用导数研究函数的单调性 极值与最值结合题目为主要考向 同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题 2010年高考天津卷节选 本题满分12分 已知函数f x xe x x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 已知函数y g x 的图象与函数y f x 的图象关于直线x 1对称 证明当x 1时 f x g x 解 1 f x 1 x e x 令f x 0 解得x 1 1分当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 证明 由题意可知g x f 2 x 得g x 2 x ex 2 令f x f x g x 即f x xe x x 2 ex 2 于是f x x 1 e2x 2 1 e x 9分当x 1时 2x 2 0 从而e2x 2 1 0 又e x 0 所以f x 0 从而函数f x 在 1 上是增函数 又f 1 e 1 e 1 0 所以x 1时 有f x f 1 0 即f x g x 12分 名师点评 本题考查了求函数的单调区间 极值和不等式证明 试题为中高档题 考生易在第 2 问犯错误 一是不会求g x 或求错 二是求g x 求错 三是未判断f x 单调性直接得出f x f 1 0 1 函数f x x3 3x 1 x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 也无最小值d 无最大值 但有最小值答案 c 2 下列命题 一个函数的极大值总比极小值