2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）1在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因为4和9的最小公倍数为36，1936=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处故选C2已知，且=8，则a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故选C3RtABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴若斜边上的高为h，则（ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h2答：B解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|a|），则点B的坐标为（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜边AB上高h= a2c2=1故选B4一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360于是，剪过k次后，可得(k1)个多边形，这些多边形的内角和为(k1)360因为这(k1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34(622)180=3460180，其余多边形有(k1)34= k33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和3358个三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故选B（第5题图）ABCDOQP5如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5题图）ABCDOQP解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故选D二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6已知a，b，c为整数，且ab=2006，ca=2005若ab，则abc的最大值为 答：5013解：由，得 因为，a400，所以，12.5x13.5 故x=13，此时9已知0a1，且满足，则的值等于 (表示不超过x的最大整数)答：6解：因为01当a1时， =10分又当时，由，得 ， 将两边平方，结合得化简得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范围为a1且，15分解法二：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以a1当a1时， =10分 另外，当时，由式有 ，即 或 ，解得，或当时，同理可得或所以，a的取值范围为a1且，15分13如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PEAC=CEKB证明：因为ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切线，（第13题）ABCOPEK所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割线定理得 所以 10分因为ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分1410个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求n的最小值解：设10个学生为，n个课外小组，首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾 5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是n个课外小组，的人数之和不小于310=30另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，的人数不超过5n， 故 5n30， 所以n6 10分下面构造一个例子说明n=6是可以的，容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件所以，n的最小值为6 15分2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知满足，则的值为 （ ）（A）1. （B）. （C）. （D）.【答】B.解 由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A）1. （B）1. （C）0. （D）2007.【答】C.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共8页）解 因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是 （ ）（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.【答】D.解 由题意可得即所以，因此，所以是直角三角形. 故选（D）.4. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）AECBDOH（A）30. （B）45. （C）60. （D）75.【答】C.解 锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为，为的中点，的延长线交于点，连、，则/，/，则，所以30，60，所以60.故选（C）.5设是内任意一点，、的重心分别为、，则的值为 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.【答】A.解 分别延长、，与的三边、交于点、，由于、分别为、的重心，易知、分别为、的中点，所以.易证，且相似比为，所以.所以.故选（A）.6袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共8页）【答】B.解 设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，有2种可能，或；当时，有3种可能，或或；当时，有4种可能，或或或.因此，共有123410种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_1_.解 ，而，.又，而，.，.2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=解 由根与系数的关系得，所以，则， 2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共8页）.3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_4_.ABCDEFGMN解 延长交于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.4 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_17_.解 设，则，两式相减得，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.第二试 （A）一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为 5分由题意，即，即10分 由题意知，且上式对一切实数恒成立，所以2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页）15分所以或20分ABCDEFMNP二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：=.证明 设与交于点，/，,. 5分又/，,. 10分,故 15分又=，PNFPMC，PNFPMC，NF/MC 20分ANFEDM.又ME/BF，FANMED.ANFFANEDMMED，AFN=DME. 25分三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得 5分因为是正整数，所以关于的方程 （1）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 10分设（其中为非负整数），则，即. 15分2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共8页）显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或 20分当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和. 25分第二试 （B）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以；一元二次方程的两根分别为和，所以.5分所以， （1） 10分由题意知，且（1）式对一切实数恒成立，所以 15分所以或 20分二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共8页）三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.解 联立方程组消去得，即，分解因式得 （1） 5分显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为是正整数，所以关于的方程 （2）的判别式，它一定有两个不同的实数根. 10分而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设（其中为非负整数），则，即. 15分显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或 20分当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和. 25分2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共8页）第二试 （C）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.解 联立方程组消去得，即，分解因式得 （1） 5分如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方程 （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数， 10分而.所以应该是一个完全平方数，设（其中为非负整数），则，即.15分显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或 20分当时，方程（2）即，它的两根分别为2和，易求得两个函数的图象有公共整点和.当时，方程（2）即，它的两根分别为1和，易求得两个函数的图象有公共整点和. 25分2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数，满足，则的值为（）。A、7B、C、D、5答A解：因为0，0，由已知条件得，所以2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）。A、B、C、D、答C解：基本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数，由题意知0，即通过枚举知，满足条件的，有17对，故3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（）。A、6条B、8条C、10条D、12条答BABCDEOF（第3题答案图）解：如图，大圆周上有4个不同的点A、B、C、D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E、F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBAB，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）。ABCODE（第4题答案图）A、B、1C、D、答B解：如图，连接OE，OA，OB，设D，则ECA120EAC又因为ABO所以ACEABO，于是AEOA15、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）。A、2种B、3种C、4种D、5种答D解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列，首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、对于实数u，v，定义一种运算“”为：uvuvv，若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数的取值范围是。答0，或1解：由，得，依题意有解得，0，或17、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟。答4。解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米。ABCDMF（第8题）每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则由，可得，所以即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。ABCDMF（第8题答案图）N8、如图，在ABC中，AB7，AC11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为。答9。解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MNAB又MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以FNMNAB， 因此FCFNNCAB9。ABCDEIrha（第9题答案图）9、ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心l作DEBC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。答解：如图，设ABC的三边长为，内切圆l的半径为r，BC边上的高为，则，所以，因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此所以DE故DE。10、关于x，y的方程的所有正整数解为。答解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数。设：则，同上可知，都是偶数，设，则，所以，都是偶数，设，则，于是，其中都是偶数。所以所以13可能为1，3，5，7，9，进而为337,329,313,289,257，故只能是289，从而137，于是因此三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。由已知，二次函数的图象经过点（5,2），得25当时，有，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有22，故由，得，所以5分当时，有，即所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以综上，所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。15分12、是否存在质数，使得关于x的一元二次方程有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数。令，其中是一个非负整数，则，5分由于1且与同奇偶，故同为偶数。因此，有如下几种可能情形：消去n，解得，10分对于第1,3种情形，从而；对于第2,5种情形，从而（不合题意，舍去）；对于第4种情形，是合数（不合题意，舍去）。又当时，方程为2，它的根为，它们都是有理数。综上有述，存在满足题设的质数。15分13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？证明你的结论。解：存在满足条件的三角形。当ABC的三边长分别为时，A2B，5分如图，当A2B时，延长BA至点D，使ADACb，连接CD，则ACD为等腰三角形。ABCD（第13题答案图）因为BAC为ACD的一个外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以CBD为等腰三角形。又D为ACD与CBD的一个公共角，有ACDCBD，于是，即，所以10分而所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形。15分说明：满足条件的三角形是唯一的。若A2B，可得，有如下三种情形；(i)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，解得，有；(ii)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，此时不能构成三角形；(iii)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解。所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件。14、已知有6个互不相同的正整数，且，从这6个数中任意取出3个数，分别设为，其中，记。证明：一定存在3个不同的数组，其中，使得对应着的3个两两之差的绝对值都小于0.5。证明：在6个正整数中任意取出3个数共有20种取法，从而确定了20个数组，由于05分把数轴上的点0到点分成如下9个部分；0，10分由于20922，由抽屉原则知，在上述9个部分中，一定有一个至少含有3个，从而，这3个两两之差的绝对值都小于0.5。15分2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1已知非零实数a，b 满足 ，则等于（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2【答】C 解：由题设知a3，所以，题设的等式为，于是，从而12如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于（ ）（第2题）（A） （B） （C）1 （D）2【答】A 解：因为BOC ABC，所以，即，所以，由，解得3将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答】D解：当时，方程组无解当时，方程组的解为由已知，得即或 由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得共有 5210种情况；或共3种情况又掷两次骰子出现的基本事件共6636种情况，故所求的概率为4如图1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 动点P从点B出发，沿梯形的边由BCDA运动. 设点P运动的路程为x，ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则ABC的面积为（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第4题）图2图1 【答】B解：根据图像可得BC4，CD5，DA5，进而求得AB8，故SABC8416.5关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组【答】C解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为由于该方程有整数根，则判别式，且是完全平方数由 ，解得 于是01491611610988534显然，只有时，是完全平方数，符合要求当时，原方程为，此时；当y4时，原方程为，此时 所 以，原方程的整数解为 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km 【答】3750解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 两式相加，得 ，则 （第7题）7已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 解：如图，延长AD与D交于点E，连接AF，EF 由题设知，在FHA和EFA中， 所以R