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文档简介

2方阵的特征值与特征向量 定义 注意特征向量一定是非零向量 性质1 例1 解 性质2 证 1 2 例2 性质3 根据这个结论我们知道属于不同特征值的特征向量线性无关 解 定理 例3 Ex9 证 例4 例5 Ex10 证 反证法 证 1 求矩阵特征值与特征向量的步骤 1 计算的特征多项式 A E 2 求特征方程 A E 0的全部根 1 2 n 也就是A的全部特征值 3 对于特征值 i 求齐次方程组 A iE X 0的非零解 也就是对应于 i的特征向量 重点 小结 2 特征值和特征向量的三个性质 3 利用特征值求行列式 3相似矩阵 定义 我们之所以研究矩阵可对角化 因为对角矩阵是最简单的矩阵 如果矩阵可对角化 我们就可以利用这个对角矩阵去研究原来矩阵的性质 定理 推论 证 证 结论 若f A E 为矩阵A的特征多项式 则矩阵A的多项式f A 0 注意 f A A AE 这个结论的一般性证明是比较困难的 但是如果矩阵A可对角化 则很容易证明这个结论 定理1 矩阵可对角化的几个判别准则 证 反之 把证明过程逆一下就可以了 推论 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值 则A可对角化 结论 证 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 根据条件知道A有n个互不相等的特征值 所以A有n个线性无关的特征向量 所以根据上面的定理我们知道矩阵A可对角化 注意这个判别准则不是充要条件 定理2 例1 解 例2 解 小结 2 矩阵可对角化的几个判别准则 2 若n阶矩阵A有n
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