线性代数河北工业大学.ppt

线性代数MATLAB计算应用 机电工程学院 线性方程组求解 1 齐次线性方程组求解 齐次线性方程组的解包括唯一零解的情况和有无穷多解 非零解 两种情况 其判定方法是求方程组系数矩阵的秩R A 当R A n时有唯一零解 当R A n时 有非零解存在 对于R A n存在非零解的状况 需要求解齐次线性方程组通解 例1 求解齐次线性方程组的通解 m1 m 输入系数矩阵AA 2 4 1 4 16 3 6 2 6 23 3 6 4 6 19 1 2 5 2 19 求矩阵秩的函数rank A 求解方程组基础解系x null A r 2 非齐次线性方程组求解 非齐次线性方程组的解包括 当存在唯一解的状况 用矩阵左除法求出其解 当存在无穷解的状况 1 唯一解 R A R n 2 无穷多解 R A R n 3 无解 R A R a 通过矩阵左除法求出其某一特解 b 求出导出组的基础解系 C 基础解系的线性组合加一个特解即为方程组的解 例2 求解非齐次线性方程组的通解 m2 m 1 输入系数矩阵AA 2 4 1 4 16 3 6 2 6 23 3 6 4 6 19 1 2 5 2 19 2 输入常数列向量bb 2 7 23 43 3 生成增广矩阵的行最简形R 并将增广矩阵的行最简形中基准元素所在的列号存入向量s中 R s rref A b 4 求出增广矩阵和系数矩阵的秩r1 rank A r2 rank R 5 输入未知量个数和方程组个数 m n size A m n为矩阵A的行 列标号 m 为方程组个数 n为未知量的个数 4 对解进行判定并求解ifr1 r2 disp 方程组无解 elseifr2 ndisp 方程组有唯一解 disp 方程组唯一解为 x A b elsedisp 方程组有无穷解 disp 方程组特解为 x1 A bdisp 方程组导出组基础解系为 x0 null A r endend 计算结果显示如下 方程组有无穷解方程组特解为Warning Rankdeficient rank 2tol 4 3099e 014 InE Software work m2 matline16x1 007 333300 3333 方程组导出组基础解系为x0 2 2 910000 2010001 3 线性方程组求解的几何概念 几何概念 空间的点可以用一个向量来定位 在三维空间R3 没有限位的点P x y z 具有三个自由度 线性方程组的求解问题是通过方程组将空间中自由的点 位置加以限定 施加约束 方程组个数越多 对这些点位置的限定就越强 x y z三个数字可以在实数域内任意选择 例3 用图形解描述齐次线性方程组的解 m3 m subplot 2 2 3 ezmesh 2 x1 x2 2 3 title 2x 0 5y z 3 subplot 2 2 4 ezmesh x1 5 x2 1 holdonezmesh 3 x1 3 x2 2 ezmesh 2 x1 x2 2 3 title 方程组的解 A 1 5 1 3 3 1 2 0 5 1 b 1 2 3 subplot 2 2 1 ezmesh x1 5 x2 1 title x 5y z 1 subplot 2 2 2 ezmesh 3 x1 3 x2 2 title 3x 3y z 对方程组进行求解并用图形表示出来 三个方程分别把三维空间的点限制在三个平面上 满足三个方程的解 方程组的解 为三个平面的公共点 当该点唯一存在的时候 方程组有唯一解 这个点正好被限位 m3 m 对上述方程组求解可以发现每个方程都把点限制在某一平面上 但是公共解被限定在一条直线上 显示空面内满足这个方程组的解不唯一 公共点没有被唯一地限位 方程组有无数解 m4 m 求解发现方程组没有公共解 显示空间三个平面没有公共交点 这种情形方程组无解 m5 m 例4说明一个桌子分别具有二 三 四条腿的稳定性 研究桌面 可以知道是空间R3内的一个的平面 方程有7个未知量 一个约束方程 即已知其中六个量方程即确定 所以说方程有六个自由度 添加两个桌腿 x1 y1 z1 x2 y2 z2 给平面方程加两个约束 平面方程必须满足 添加一个桌腿 x1 y1 z1 相当于给平面方程施加一个约束 平面方程必须满足 以 a b c 为未知量 方程组欠定 不平衡 添加三个桌腿 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 给平面方程施加三个约束 此时方程组有唯一解 桌子位置被固定 方程组适定 四个桌腿 方程组需满足 方程组个数多于未知量个数 超定 可能出现 a 一条腿悬空 有一个方程不满足 b 恰好平衡 有一个方程多余方程 c 四条腿被强制性固定 平面变成曲面 向量组的极大无关组求法有三种 1 根据最高阶非零子式求解 2 初等行变换求行向量组的极大无关组 3 初等行变换求列向量组的极大无关组 给出第三种求法 将列向量组放入矩阵中去 对矩阵作初等行变换 将矩阵化成阶梯或者行最简形 在每一个阶梯上面取出一列 这些列所对应的向量组就是极大无关组 向量组求极大无关组 例3 向量组 1 1 1 0 2 2 T 2 3 4 0 8 3 T 3 2 3 0 6 1 T 4 9 3 2 1 2 T 5 6 2 2 9 2 T 求出其极大无关组 m6 m 解 1 输入向量组 并将其放入矩阵Aa1 1 1 0 2 2 a2 3 4 0 8 3 a3 2 3 0 6 1 a4 9 3 2 1 2 a5 6 2 2 9 2 A a1 a2 a3 a4 a5 2 将矩阵A化为行最简形 将基准行的列标号输入向量s中 算出向量组的秩 R s rref A r length s 3 输入极大无关组fprintf 极大无关组为 fori 1 rfprintf a d s i endfori 1 rA0 r A s i endA0 计算结果显示如下 极大无关组为 a1a2a4A0 139143002281232 计算结果显示 极大无关组是 1 2 4 该极大无关组被放入矩阵A0 剩余向量 3 5被极大无关组线性表示如下 4 将剩余向量用极大无关组线性表示 显然 如果A0可逆的话 坐标矩阵K很容易求得 虽然在本例中A0不是方阵 但是MATLAB软件仍可以使用矩阵左除的方法求出坐标矩阵K 具体计算过程如下 提取不在极大无关组中的其他向量 s0 1 2 3 4 5 生成维数等于向量个数的数组 fori 1 rs0 s i 0 将极大无关组标号赋为0end s0 find s0 删除s0中的零元素 保留极大无关组之外其他向量的标号 r1 length s0 提取非极大无关组向量个数 fori 1 r1 A1 i A s0 i 将非极大无关组向量存入矩阵A1中end 将其他向量用极大无关组线性表示 求出坐标矩阵K K A0 A1 计算结果显示如下 s0 35A1 263 2026 912K 1 00003 00001 0000 2 00000 00001 0000 s0A1 显示多余向量及其所在的列 本节内容涉及的MATLAB命令 特征值和特征向量 例4 向量组a1 2 1 1 1 T a2 1 2 1 1 T a3 1 1 2 1 T a4 1 1 1 2 T A a1 a2 a3 a4 求 1 求出此向量组生成子空间V的一个标准正交基 并将这组向量在这组基下的坐标显示出来 m7 m 2 求出A特征值 特征向量 并将特征向量标准正交化 m8 m 求出向量组的极大无关组 将极大无关组标准正交化得到标准正交基 将向量组用求出的标准正交基线性表示 解 1 输入向量组 并将其放入矩阵A 将向量组标准正交化 P的列构成一个空间V的标准正交基 a1 1 2 3 4 a2 2 3 4 1 a3 3 4 1 2 a4 4 1 2 3 A a1 a2 a3 a4 P orth A 计算结果显示 P 0 5000 0 866000 00000 5000 0 2887 0 00000 81650 5000 0 28870 7071 0 4082 0 50000 28870 70710 4082 说明向量组生成了一个四维空间 其一组标准正交基由P中列向量表示 将A中列向量组用P的列向量线性表示 求坐标 K P A 计算结果显示 K的列向量为 1 4在所求标准正交基下的坐标 K 2 50002 50002 5000 2 5000 0 8660 0 2887 0 28870 28870 00000 00000 70710 70710 00000 8165 0 40820 4082 2 求出A特征值 特征向量 并将特征向量标准正交化 V D eig A V1 D1 schur A V 0 78870 21130 2887 0 50000 21130 7887 0 28870 50000 5774 0 5774 0 28870 500000 0 8660 0 5000D 1000010000100005 V1 0 78870 21130 2887 0 50000 21130 7887 0 28870 50000 5774 0 5774 0 28870 500000 0 8660 0 5000D1 1000010000100005 需要掌握的MATLAB语句 1 求矩阵的秩 r rank A 2 化矩阵为行最简形 R rref A 3 化矩阵为行最简形并提取基准列号 R s rref A 可以求向量组极大无关组 4 求齐次线性方程组的基础解系 x null A r 5 求非齐次线性方程组的特解 x0 A b 6 求矩阵特征值 r eig A 7 求矩阵特征向量 V D eig A 平面运动的概念 1 刚体平面运动 刚体内各点分别保持在与某一固定平面平行的平面内运动 A1 A2 S a 固定平面 如图 S为刚体上任一平行于固定平面 的平面 A1A2为任一垂直于固定平面 的直线 并交S于a点 根据平面运动的定义可以知道 A1A2上各点与a点运动状况相同 因此 整个刚体的运动形式都可由它在平面I或者II上投影的运动状况表示 而这个投影是一个平面图形 2 刚体的平面运动可以简化为 平面图形S在其所在平面内的运动 即 只要知道了平面图形S的运动 就可以知道整个刚体的运动 实验14刚体平面运动 研究刚体在平面上投影这个平面图形的运动 平面图形初始位置 平面图形最终位置 平面图形运动分解 平面图形平移 平面图形转动 平面图形上的点M x y 平移后到达点M1 x1 y1 此时对应运算为 或者 扩充向量维数 即 点M1 x1 y1 转动 角后到达点M2 x2 y2 此时对应运算为 或者 扩充向量维数 即 点M x y 经过平面运动后到达点M2 x2 y2 的运算关系可以表达为 例5 直角三角形ABC 三点坐标分别为A 0 0 B 5 0 C 0 8 完成以下图形移动 1 向上移动10 向右移动20 平移 2 逆时针转动3 4 转动 3 先顺时针转动 2 再向上移动15 向右移动10 平面运动 解 构造平面图形的矩阵 矩阵的列向量描述了三角形的顶点位置 三角形需要封闭 1 向上移动10 向右移动20 平移 平移矩阵 2 逆时针转动3 4 转动 旋转矩阵 3 先顺时针转动 2 再向下移动15 向左移动10 平面运动 平移矩阵 旋转矩阵 程序 m9 m clearallX 0 10 0 0 0 0 20 0 1 1 1 1 输入三角形顶点坐标K1 1 0 20 0 1 10 0 0 1 平移矩阵K2 cos 3 pi 4 sin 3 pi 4 0 sin 3 pi 4 cos 3 pi 4 0 0 0 1 旋转矩阵R1 1 0 10 0 1 15 0 0 1 平移矩阵R2 cos pi 2 sin pi 2 0 sin pi 2 cos pi 2 0 0 0 1 旋转矩阵Y1 K1 X Y2 K2 X Y3 R1 R2 X 生成新图形fill X 1 X 2 k holdonfill Y1 1 Y1 2 b fill Y2 1 Y2 2 g fill Y3 1 Y3 2 r gridon 运行结果 常微分方程求解问题 例6 求解如下常微分方程组初值问题 m10 m 初始条件 平抛运动 定义向量 原方程组变为 描述 0 10s 中点的运动轨迹 将时间区域分割 取21个点 时间步长为0 5s t linspace 0 10 21 dt 0 5 输入位置 速度和加速度初值 Position0 0 0 Velocity0 10 0 Acceleration 0 9 8 计算后一个时间点的速度 Velocity2 Velocity1 Acceleration dt Position2 Position1 Velocity1 dt 循环计算可以得到各时间点的位置 速度和加速度 程序 m10 m Position0 0 0 Velocity0 10 0 Acceleration 0 9 8 t linspace 0 10 21 dt 10 0 21 1 Positio