线性代数2.4向量组的秩.ppt

设有两个向量组 1 2 s A 1 2 t B 如果组 A 中的每个向量 如果组 A 中的每个向量都可以由向量组 B 线性表示 则称向量组 A 可以由向量组 B 线性表示 组 B 中的每个向量 则称这两个向量组可以互相线性表示 或称这两个向量组等价 都可以由向量组 B 线性表示 都可以由向量组 A 线性表示 如 A B 组 A 可以由组 B 线性表示 组 B 可以由组 A 线性表示 这两个向量组等价 1 2 s A 1 2 t B 1 2 p C 如果向量组 A 可以由向量组 B 线性表示 如 1 2 A 1 2 B 1 2 C 即 1可以由 1 2线性表示 向量组 B 又可以由向量组 C 线性表示 则向量组 A 可以由向量组 C 线性表示 同理 2可以由 1 2线性表示 即向量组 A 可以由向量组 C 线性表示 定理2 9设有两个向量组 1 2 s A 1 2 t B 若s t 即组 A 中向量少 例如 组 B 可以由组 A 线性表示 组 B 线性相关 且向量组 B 则向量组 B 线性相关 组 B 中向量多 多的 B 可由少的 A 则多的向量组 B 线性相关 B 中向量比 A 中多 线性表示 可以由向量组 A 线性表示 1 2 s A 1 2 t B t s 向量组 B 线性相关 设向量组 B t s 向量组 B 线性无关 结论 若向量组 B 推论若向量组 A 和 B 可以互相线性表示 证 B 可以由 A 线性表示 s t 两个向量组都线性无关 A 可以由 B 线性表示 且 B 线性无关 则t s 且向量组 A B 都线性无关 则s t 则它们所含向量的个数相同 且 B 线性无关 t s 且 A 线性无关 s t 且能互相线性表示 可以由向量组 A 线性表示 可以由向量组 A 线性表示 两个线性无关的向量组 向量组的极大无关组 例考虑向量组 此向量组线性相关 维数2 是向量组的一部分 称为向量组 的部分组 线性无关 称为向量组 的线性无关的部分组 所含向量的个数4 如果能互相线性表示 则它们所含向量的个数相同 向量组的秩 是向量组 的线性无关的部分组 线性相关 线性相关 是向量组的一部分 线性无关 3 从向量组中 再取一个加入到 线性相关 是向量组 得到的向量组 的一个极大线无关组 例考虑向量组 是向量组 线性无关 线性相关 线性相关 线性相关 线性相关 3 从向量组中 线性相关 的到的向量组 再取一个加入到 称为向量组 的一部分 的一个极大线无关组 例考虑向量组 是向量组 线性无关 线性相关 线性相关 3 从向量组中 线性相关 得到的向量组 再取一个加入到 称为向量组 的一部分 的一个极大线性无关组 一般地 给定向量组 从中取出r个向量 得到的向量组 线性相关 则称 极大线无关组 加入到其中 若这个部分组满足 定义2 11如果n维向量组 满足下述条件 1 线性无关 2 在向量组 则部分组 向量组中的任一向量 中的一个部分组 中 任取一个向量 添加到部分组 中 所得到的新的部分组 都线性相关 称为向量组 的一个极大无关组 都可以由其极大无关组 线性表示 向量组中的任一向量 证设有向量组 不妨设它的一个极大无关组是 根据极大无关组的定义 线性相关 故 r 1可由 故 r 2可由 线性相关 故 s可由 线性相关 故向量组 可由其极大无关组 1 2 r 线性无关 而 1可由 2可由 r可由 线性表示 线性表示 线性表示 线性表示 线性表示 线性表示 线性表示 都可以由其极大无关组线性表示 删 定义2 11 如果n维向量组 满足下述条件 1 线性无关 2 原向量组 则部分组 定义2 11和定义2 11 线性表示 称为向量组 的一个极大无关组 中的一个 中任意一个向量 都可以由 是极大无关组的两个等价定义 例考虑向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都可以由 线性表示 是该向量组的极大无关组 定理2 8向量组与其极大无关组 证设有向量组 不妨设它的一个极大无关组是 已证向量组 反之 1可以由向量组 线性表示 2可以由向量组 线性表示 r可以由向量组 线性表示 等等 故极大无关组 可以由向量组 线性表示 证毕 从而极大无关组 和向量组 等价 即向量组与其极大无关组等价 可以互相线性表示 可以由其极大无关组 线性表示 例向量组 是向量组的一个部分组 2 向量组中任一向量都可以由 向量组的极大线无关组 1为向量组的一个极大线无关组 一个向量组的极大无关组是不唯一的 是向量组的一个极大线无关组 是向量组的一个部分组 2 向量组中每一向量都可以由 向量组的极大线无关组 定理向量组 1 2 s 则 都线性无关 向量组 与其极大无关组可以互相线性表示 故极大无关组 和 可以互相线性表示 给定向量组 设它有极大无关组 的任意两个极大无关组 所含向量的个数相同 及 向量组 称为向量组的秩 记为 例向量组 例向量组 是向量组的极大无关组 是向量组极大无关组 的极大无关组所含 向量的个数 定义2 13 或 秩 例向量组 是向量组 是向量组的一个极大线无关组 的线性无关部分组 结论1若向量组 证 的极大无关组中 含有r个向量 不妨设它的一个极大无关组是 故向量组 中任意r 1个向量均可由 向量组 中每个向量均可由 线性表示 线性表示 含r个向量 故向量组 中任意r 1个向量均线性相关 的秩为r 则其中任意r 1 个向量都 线性相关 r 1个向量 所以这r 1个向量线性相关 线性相关 结论2如果向量组 证设 r p 可以由 线性表示 线性无关 可由向量组 线性表示 则 秩 秩 即 秩 秩 结论3如果向量组 证 可以互相线性表示 则 和 即 等价的向量组 有相同的秩 定义矩阵的行向量组的秩 A的行秩 A的列秩 秩 A 矩阵的列向量组的秩 称为矩阵的行秩 称为矩阵的列秩 为A的行向量组 为A的列向量组 定理2 14对任意矩阵A 有 秩 A 2 行秩 列秩 A的行秩 A的列秩 A的秩 例设 求该向量组的 是该向量组的一个极大无关组 r 1 2 3 4 5 3 极大无关组含3个向量 并用此极大无关组线性表示其它向量 一个极大无关组 例求向量组 列秩 2 秩 A 2 极大无关组含2个向量 1 2线性无关 是该向量组的一个极大无关组 解 的一个极大无关组 线性无关 把其它向量用此极大无关组线性表示 结论4矩阵乘积的秩不大于各因子的秩 即 秩 AB 秩 A 秩 AB 秩 B 从而 秩 AB min r A r B 设Am n与Bn s 证首先证秩 AB 秩 B 设AB C AB C即 1 2 m可由 1 2 n线性表示 C的列秩 B的列秩 即秩 AB 秩 B 从而 秩 AB min r A r B 秩 C 秩 B 判断下列命题是否正确 1 如果向量组 1 2 s线性相关 2 向量组 1 2 s线性无关 3 如果两个向量组等价 4 如果r 1 2 s r 则 若加上条件s 2 则正确 则其中任一向量都可以由