【名师一号】高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

1 2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 1直线与平面垂直的判定 2 自学导引 学生用书p45 3 1 理解直线与平面垂直的定义 了解 过一点有且仅有 的两个重要结论 2 了解点到平面的距离 直线和平面的距离的意义 初步掌握相关距离的简单计算 3 经过观察 探索和转化的办法理解直线和平面垂直的判定定理 并会运用定理解题 4 课前热身 学生用书p45 5 1 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的 都 那么这条直线和这个平面互相垂直 直线l和平面 互相垂直 记作 2 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都 那么这条直线垂直于这个平面 3 过一点 一条直线和一个平面垂直 任意一条直线 垂直 l 相交 垂直 有且只有 6 4 过一点 一个平面和一条直线垂直 5 两条 直线中的一条和一个平面垂直 那么另一条也和这个平面垂直 6 平面内的一条斜线和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 有且只有 平行 锐角 7 名师讲解 学生用书p45 8 1 如何理解直线与平面垂直直线与平面垂直的定义中 要求直线与平面内的 任意一条 直线都垂直 这里将 任意一条 改成 无数条 对吗 不对 如右图 将一把丁字尺放在平面 上 则b a且a 由空间角的可平移性知在平面 内凡与a平行的直线都垂直于b 即直线b垂直于平面 内无数条直线 又直线b可绕直线a转动 因此直线b可能与平面 不垂直 只有当直线b垂直于平面 内两条相交直线时 才能判定直线b垂直于平面 9 2 如何理解直线和平面所成的角直线与平面相交 过交点在平面内可作无数条直线 与平面相交的直线l与平面内过交点的直线所成的角是不相等的 为了保证角的确定性 我们必须找到既有确定值 又能准确描述其位置的一个角 这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角 而斜线和平面 内的射影有两个角 我们规定斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的锐角 它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角 当直线垂直平面时 直线与平面所成角为90 当直线和平面平行 或在平面内 我们说直线与平面成0 角 因此直线和平面所成角的范围是 0 90 10 3 直线和平面垂直的判定定理判定定理 若直线a同时垂直于平面 内的两条相交直线m n 则a 解读这个定理 其条件有 m n m n a a m a n 这三个条件缺一不可 但对a m a n在什么位置 过不过交点 以什么方式 共面或异面 都不作要求 正是这种不作要求的 宽松 条件 致使证直线与平面的垂直视野开阔 方法灵活 11 典例剖析 学生用书p45 12 题型一线面垂直的判定例1 如右图 直角 abc所在平面外一点s 且sa sb sc 点d为斜边ac的中点 1 求证 sd 平面abc 2 若ab bc 求证 bd 面sac 13 分析 由于d是ac的中点 sa sc 则sd是 sac的高 连结bd 可证 sdb sda 由ab bc 则rt abc是等腰直角三角形 则bd ac 利用线面垂直的判定定理即可得证 14 证明 1 sa sc d为ac的中点 sd ac 连结bd 在rt abc中 则ad dc bd ads bds sd bd 又ac bd d sd 面abc 15 2 ba bc d为ac中点 bd ac 又由 1 知sd 面abc sd bd 于是bd垂直于平面sac内的两条相交直线 bd 平面sac 16 规律技巧 1 利用题设条件来寻求适用判定定理的条件是证明过程的基本思路 2 线面垂直的定义说明了直线垂直平面 则直线垂直这个平面内的任意直线 常用此性质证 线线垂直 线面垂直 17 变式训练1 如右图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ab ac 1 aa1 2 b1a1c1 90 d为bb1的中点 求证 ad 平面a1dc1 18 证明 aa1 底面abc 平面a1b1c1 平面abc aa1 平面a1b1c1 a1c1 aa1 又 b1a1c1 90 a1c1 a1b1而a1b1 aa1 a1 a1c1 面aa1b1b ad平面aa1b1d a1c1 ad 19 由已知计算得aa1 2 ad2 a1d2 aa21 a1d ad a1c1 a1d a1 ad 平面a1dc1 20 例2 如右图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m为棱cc1的中点 ac交bd于点o 求证 a1o 平面mbd 21 证明 连结mo db a1a db ac a1a ac a db 平面a1acc1 而a1o 平面a1acc1 a1o db tan aa1o aa1o moc 则 a1oa moc 90 a1o om 22 om db o a1o 平面mbd 23 规律技巧 在证明a1o与平面bmd中两条相交直线垂直时 先证得线垂直面 由定义得线垂直线 另一垂直是证两线成90 角完成的 有时可用勾股定理的逆定理 应注意总结方法 24 变式训练2 在空间四边形abcd中 e f分别是ad bc的中点 若ac bd a efa bdc 90 求证 bd 平面acd 25 证明 如右图 取cd中点g 连结eg fg 则 26 ef2 eg2 fg2 egf 90 ac eg bd fg bd ac 又 bdc 90 bd dc 而ac dc c bd 平面acd 27 题型二求直线和平面所成的角例3 已知平面 外两点a b到平面 的距离分别为1和2 a b两点在 内的射影之间距离为求直线ab和平面 所成的角 28 分析 a b两点在平面 外 是在平面 同侧还是异侧 题中没有明确 因此 该题应分情况讨论 29 解 1 如图 1 当a b位于平面 同侧时 由点a b分别向平面 作垂线 垂足分别为a1 b1 则aa1 1 bb1 2 b1a1过点a作ah bb1于h 则ab和 所成角即为 hab 而 bah 30 30 2 如图 2 当a b位于平面 异侧时 经a b分别作aa1 于a1 bb1 于b1 ab c 则a1b1为ab在平面 上的射影 bcb1或 aca1为ab与平面 所成角 bcb1 aca1 31 ab与 所成角为60 综合 1 2 可知 ab与平面 所成角为30 或60 32 规律技巧 求解斜线和平面所成的角的一般方法是 确定斜线与平面的交点即斜足 经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线 确定垂足 进而确定斜线在平面内的射影 求解由垂线 斜线及其射影构成的直角三角形 33 变式训练3 如图所示 rt bmc中 斜边bm 5 它在平面abc上的射影ab长为4 mbc 60 求mc与平面abc所成角的正弦值 34 解 由题意知 a是m在平面abc内的射影 ma 平面abc mc在平面abc内的射影为ac mca为mc与平面abc所成的角 又 在rt mbc中 bm 5 mbc 60 mc bmsin60 35 易错探究 36 例4 2010 唐山一模 已知直线a和两个平面 给出下列四个命题 若a 则 内的任意直线都与a平行 若a 则 内的任意直线都与a垂直 若 则 内的任意直线都与 平行 若a与 所成的角相等 则 则其中真命题为 37 a b c d 错解 若a 则 与a无公共点 所以 内的任意直线都与a平行 所以 正确 若a 根据直线与平面垂直的定义知 内的任意直线都与a垂直 所以 正确 故选a 38 错因分析 直线与平面平行时 直线与平面中的直线没有公共点 包括平行与异面两种情况 所以 为假命题 正解 由直线与平面垂直的定义知 若a 则 内的任意直线都与a垂直 所以 为真 若 则 内任意直线与 没有公共点 所以平行 故 为真 答案 b 39 技能演练 学生用书p47 40 基础强化1 判断题 正确的在括号内打 号 不正确的打 号 1 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 那么这条直线和这个平面垂直 2 垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 3 过点a垂直于直线a的所有直线都在过点a垂直于a的平面内 4 如果三条共点直线两两垂直 那么其中一条直线垂直于另两条确定的平面 5 已知a 且b 则b a 6 a b a 则b 答案 1 2 3 4 5 6 41 2 垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是 a 垂直b 平行c a d 无法确定 答案 a 42 3 对于直线a b和平面 下列推论错误的是 答案 d 43 4 空间四边形abcd的四边相等 则它们的对角线ac bd的关系是 a 垂直且相交b 相交但不一定垂直c 垂直但不相交d 不垂直也不相交 44 解析 如图所示 abcd是空间四边形 且ab bc cd da 取bd的中点e 连结ae ce则有ae bd ce bd bd 平面ace bd ac 空间四边形abcd的对角线ac bd垂直 但不相交 答案 c 45 5 2007 福建 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 a m n m n b m n m nc m m nn d n m n m 答案 d 46 6 a b是直线 是平面 下列判断正确的是 a a垂直 内的两条直线 则a b a b b 则a c a b 则a bd 若a a 则 解析 用排除法 在a中 当两直线平行时 不成立 在b中 a可能在 内 在d中 与 也可能相交 因此a b d均错 故c正确 答案 c 47 7 设o为平行四边形abcd对角线的交点 p为平面ac外一点且有pa pc pb pd 则po与平面abcd的关系是 解析 如图 pa pc po ac 又pb pd po bd po 平面abcd 答案 垂直 48 8 ab为 o的直径 c是异于a b的圆周上的任意一点 pa垂直 o所在的平面 则 pab pac abc pbc中共有 个直角三角形 4 49 能力提升 50 9 如下图 已知p是 abc所在平面外一点 pa pb pc两两互相垂直 h是 abc的垂心 求证 ph 平面abc 51 证明 如下图 pc ap pc bp pc 平面apb pc ab 连结ch h为 abc的垂心 ch ab ab 平面phc ph ab 同理可证ph bc ph 平面abc 52 10 如下图 已知pa o所在平面 ab为 o的直径 c是圆周上的任意一点 过a作ae pc于e 求证 ae 平面pbc 53 证明 pa 平面abc bc平面abc pa bc ac bc ac pa a bc 平面pac ae平面pac bc ae 又 pc ae bc pc c ae 平面pbc 54 品味高考 学生用书p48 55 11 2007 四川 如下图 abcd a1b1c1d1为正方体 下面结论错误的是 a bd 平面cb1d1b ac1 bdc ac1 平面cb1d1d 异面直线ad与cb1所成的角为60 56 解析 易知异面直线ad与cb1所成的角等于ad与da1所成的角 为45 d错 答案 d 57 12 2009 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd ad cd db平分 adc e为pc的中点 证明pa 平面bde 证明ac 平面pdb 求直线bc与平面pdb所成的角的正切值 58 解 证明 连结ac 设ac bd h 连结eh