【学海导航】高三数学第一轮总复习 6.2 均值不等式课件.ppt

第六章 不等式 6 2均值不等式 一 算术平均数与几何平均数定理1 若a 0 b 0 则称 为两个正数的算术平均数 称 为两个正数的几何平均数 2 如果a b为实数 那么a2 b2 2ab ab 当且仅当a b时取 号 3 如果a b为正实数 那么 当且仅当a b时取等号 如果a b为定值p 那么ab有最 值 为 如果ab为定值s 那么a b有最 值 为 这一结论称为均值定理 其应用的三个条件依次为 11 二 不等式恒成立问题不等式a f x 恒成立 f x max存在 12 不等式a f x 恒成立 f x min存在 13 大 小 一正 二定 三相等 a f x max a f x mix 盘点指南 大 小 一正 二定 三相等 11a f x max 12a f x min 若x y 且x y s xy p 则下列命题中正确的是 a 当且仅当x y时 s有最小值b 当且仅当x y时 p有最大值c 当且仅当p为定值时 s有最小值d 若s为定值 则当且仅当x y时 p有最大值解 由均值不等式易得答案为d d 若x y x y 4 则下列不等式中成立的是 解 故选b b 设a 0 b 0 则下列不等式中不成立的是 解法1 由于是选择题 可用特值法 如取a 4 b 1 代入各选项中的不等式 易判断不成立 解法2 可逐项使用均值不等式判断不等式成立 b 因为相乘得成立 c 因为又由得所以成立 d 因为 所以所以即不成立 故选d 1 今有一台坏天平 两臂长不等 其余均精确 有人说要用它称物体的重量 只需将物体放在左右托盘各称一次 则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量 这种说法对吗 并说明你的理由 解 不对 设左 右臂长分别是l1 l2 物体放在左 右托盘称得重量分别为a b 真实重量为g 题型1利用均值不等式比较代数式的大小 则由杠杆平衡原理有 l1 g l2 b l2 g l1 a 得g2 ab 所以 由于l1 l2 故a b 由均值不等式知说法不对 真实重量是两次称量结果的几何平均值 点评 本题考查均值不等式 杠杆平衡原理知识及分析问题 解决问题的能力 属跨学科 数学 物理 的创新问题 均值不等式应用的条件是 一正二定三相等 即两个数都为正数 两个数的和或积是定值 有相等的可取值 已知a b c都是正数 且a b c 1 求证 证明 因为所以同理 有所以但由于3a 2 1 所以上式不能取等号 所以 2 1 已知x 0 y 0 且求x y的最小值 2 已知x0 y 0 所以 题型2求函数或代数式的最值 当且仅当即y 3x时 上式等号成立 又所以x 4 y 12时 x y min 16 2 因为x0 所以当且仅当即x 1时 上式等号成立 故当x 1时 ymax 1 3 由2x 8y xy 0 得2x 8y xy 所以所以x y x y 10 10 2 10 2 2 18 当且仅当 即x 2y时取等号 又2x 8y xy 0 所以x 12 y 6 所以当x 12 y 6时 x y取最小值18 点评 第 2 小题是一类应用均值不等式求分式型函数的最值的题型 此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式 或积式 且它们的积 或和 式为定值的形式 然后看能否有相等条件 若有再利用均值不等式得出函数的最值 若没有 则利用函数的单调性求解 第 1 3 小题可利用已知条件转化为 2 的形式 3 若对任意正实数x y 不等式恒成立 则a的最小值是 解 若不等式恒成立 则恒成立 所以因为所以当且仅当x y时取等号 所以a 故amin 题型3用均值不等式求解不等式中的恒成立问题 点评 求恒成立中的问题的方法比较多 本题利用的是分离变量法 即一边为所求参数a 另一边是其他参数的式子 然后求其式子的最值 从填空题的角度来思考 本题也可以利用对称式的特点取x y 1 由此猜想a的值 已知a b c r 求证 证明 因为所以同理 三式相加得 1 均值不等式具有将 和式 转化为 积式 及将 积式 转化为 和式 的放缩功能 2 a2 b2