高三数学一轮复习精品课件第七章解析几何人教版7.8解析几何中的轨迹问题.ppt

中国人民大学附属中学 7 8解析几何中的轨迹问题 求轨迹的一般方法 1 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 易于表述成含x y的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 用直接法求动点轨迹一般有建系 设点 列式 化简 证明五个步骤 最后的证明可以省略 但要注意 挖 与 补 例1已知直角坐标系中 点q 2 0 圆c的方程为x2 y2 1 动点m到圆c的切线长与 mq 的比等于常数 0 求动点m的轨迹 1 当 1时 方程为x 表示一条直线 2 当 1时 方程化为表示一个圆 练习 已知 abc中 求点a的轨迹方程 并说明轨迹是什么图形 当m 1时 轨迹为直线x 0 当m 0时 轨迹为点 1 0 当m 0和1时 轨迹是圆心为 半径为的圆 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 例2如图 某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑 挖出的土只能沿ap bp运到p处 其中ap 100m bp 150m apb 600 问怎能样运才能最省工 解 半圆上的点可分为三类 一是沿ap到p较近 二是沿bp到p较近 三是沿ap或bp一样近 其中第三类的点位于前两类的分界线上 设m为分界线上的任一点 则有 即 故m在以a b为焦点的双曲线的右支上 建立如图直角坐标系 得边界的方程为 故运土时为了省工 在双曲线弧左侧的土沿ap运到p处 右侧的土沿bp运到p处 在曲线上面的土两边都可运 练习 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心的轨迹方程 并说明它是什么样的曲线 3 代入法 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律的运动 且动点q的轨迹为给定或容易求得 则可先将x y 表示为x y的式子 再代入q的轨迹方程 然而整理得p的轨迹方程 代入法也称相关点法 例3如图 从双曲线x2 y2 1上一点q引直线x y 2的垂线 垂足为n 求线段qn的中点p的轨迹方程 解 设动点p的坐标为 x y 点q的坐标为 x1 y1 则n 2x x1 2y y1 代入x y 2 得2x x1 2y y1 2 又pq垂直于直线x y 2 故即x y y1 x1 0 由 解方程组得代入双曲线方程即可得p点的轨迹方程是2x2 2y2 2x 2y 1 0 练习1 已知曲线方程f x y 0 分别求此曲线关于原点 关于x轴 关于y轴 关于直线y x 关于直线y x 关于直线y 3对称的曲线方程 f x y 0f x y 0f x y 0 f y x 0f y x 0f x 6 y 0 练习2 已知曲线c y x2与直线l x y 2 0交于a b两点 点p在曲线c上 且在a b之间 若点q是线段ab的中点 试求线段pq的中点m的轨迹方程 4 参数法 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借助中间变量 参数 使x y之间建立起联系 然而再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 例4经过抛物线y2 2p x 2p p 0 的顶点a作互相垂直的两直线分别交抛物线于b c两点 求线段bc的中点m轨迹方程 解 a 2p 0 设直线ab的方程为y k x 2p k 0 与抛物线方程联立方程组可解得b点的坐标为 由于ac与ab垂直 则ac的方程为 与抛物线方程联立方程组可解得c点的坐标为 又m为bc中点 设m x y 则 消去k得y2 px 即点m的轨迹是抛物线 5 点差法 求圆锥曲线中点弦轨迹问题时 常把两个端点设为 x1 y1 x2 y2 并代入圆锥曲线方程 然后作差求出曲线的轨迹方程 例6 已知p是抛物线c 上一点 直线l过点p且与抛物线c交于另一点q 若直线l与过点p的切线垂直 求线段pq中点m的轨迹方程 解 设 依题意知x1 0 y1 0 y2 0 由 得y x 过点p的切线的斜率k1 x1 直线l的斜率 直线l的方程为 方法一 利