【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用（第1课时）课件 理.ppt

第十二章极限与导数 数学归纳法及其应用 第讲 1 第一课时 1 从一系列有限的 得出 的推理方法 叫做归纳法 2 对一个与正整数n有关的命题 第一步 验证当n取 时命题成立 第二步 假设当 时命题成立 证明当 时命题也成立 在完成了这两个步骤以后 就可以断定命题对于从 开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 特殊事例 一般结论 第一个值n0 n k k n k n0 n k 1 n0 3 数学归纳法需要完成两个步骤的证明 缺一不可 其中第一步是奠基步骤 是 的基础 第二步反映了无限递推关系 即命题的正确性具有 若只有第一步 而无第二步 则只是证明了命题在特殊情况下的正确性 若只有第二步 而无第一步 那么假设n k时命题成立就没有根据 递推无法进行 递推归纳 传递性 1 设那么f n 1 f n 等于 d 解 2 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形的对角线条数f n 1 为 a f n n 1b f n nc f n n 1d f n n 2解 由n边形到n 1边形 增加的对角线是增加的一个顶点与原 n 2 个顶点连成的 n 2 条对角线 及原先的一条边成了对角线 故选c c 题型1用数学归纳法证明恒等式 不等式 1 设n n 求证 证明 1 当n 1时 左边 右边所以等式成立 2 假设n k k n 时等式成立 即 则当n k 1时 所以当n k 1时等式也成立 综合 1 2 知 对一切正整数n等式都成立 点评 运用数学归纳法证明恒等式 不等式 的要点是 两步一结论 即第一步先验证初始结论 第二步是先假设n k时命题成立 再由n k时的命题作条件 推导n k 1时结论也成立 一结论是指最后归纳前面两个步骤 得出原结论是成立的 所以当n k 1时 不等式也成立 综合 1 2 知 对于一切大于1的自然数 不等式都成立 题型2用数学归纳法证明整除性问题 2 设a为实常数 n n 证明 an 2 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 证明 1 当n 1时 a3 a 1 3 2a 1 a2 a a 1 a 1 2 2a 1 a2 a 1 它能被a2 a 1整除 所以n 1时命题成立 2 假设当n k时 ak 2 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 3 a 1 2k 3 a ak 2 a 1 2k 1 a 1 2k 3 a a 1 2k 1 a ak 2 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 因为ak 2 a 1 2k 1与a2 a 1都能被a2 a 1整除 所以上面的和也能被a2 a 1整除 即当n k 1时 ak 3 a 1 2k 3能被a2 a 1整除 综合 1 2 知 命题对任何n n 都成立 点评 用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形 即把n k 1的命题形式通过添项配凑成n k时的结论加除式的倍式的形式 已知f n 2n 7 3n 9 是否存在自然数m 使对任意n n 都有m整除f n 如果存在 求出最大的m值 并证明你的结论 如果不存在 说明理由 解 由f 1 36 f 2 108 f 3 360 f 4 1224 猜想f n 被36整除 证明 1 当n 1时 猜想显然成立 2 假设当n k时 f k 能被36整除 即 2k 7 3k 9能被36整除 则当n k 1时 f k 1 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由假设知3 2k 7 3k 9 能被36整除 而3k 1 1是偶数 所以18 3k 1 1 能被36整除 从而f k 1 能被36整除 综合 1 2 知 对任意n n f n 能被36整除 由于f 1 36 故36是整除f n 的自然数m的最大值 平面内有n个圆 其中每两个圆都相交 任何三个圆都无公共点 证明 这n个圆把平面分成n2 n 2个区域 证明 1 当n 1时 一个圆把平面分成两个区域 而12 1 2 2 所以命题成立 2 假设当n k时命题成立 即k个圆把平面分成k2 k 2个区域 题型用数学归纳法证明几何命题 则当n k 1时 第k 1个圆与原有的k个圆共有2k个交点 这些交点把第k 1个圆分成了2k段弧 其中每段弧都把它所在的区域分成了两部分 因此共增加了2k个区域 所以这k 1个圆把平面分成k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个区域 即当n k 1时命题也成立 综合 1 2 知 对任意n n 命题都成立 1 数学归纳法的第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立 这主要取决于从k到k 1的奠基是什么数 如果假设当n k时命题成立 并要求当k m时才能得出n k 1时命题也成立 则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立 2 第二步的证明必须运用 归纳假设 作为证明n k 1时命题成立的条件 否则就不是数学归纳法了 3 归纳假设 可以是一个式子 等式或不等式 也可以是一段具有数学意义的数学语言 有时需要对它作适当变通 而不是机械地套用 4 如果命题是对正奇数 或正偶数 成立 则假设n k时命题成立后 要证明n k 2时也命题成立 若第 1 步证明n 1和n 2时命题成立 第 2 步假设n k