【学海导航】高三数学第一轮总复习 2.7 二次函数课件（1）.ppt

第二章 函数 2 7二次函数 一 二次函数的图象特征1 a 0时 开口 0时与x轴的 为方程ax2 bx c 0的两实根 0时 抛物线与x轴 恒成立 2 a 0时 开口 0时与x轴 为方程ax2 bx c 0的两实根 0时 抛物线与x轴 恒成立 向上 交点的横坐标 不相交 ax2 bx c 0 向下 交点的横坐标 不相交 ax2 bx c 0 二 二次函数的解析式1 一般式 f x a 0 2 顶点式 f x a 0 3 零点式 f x 11 a 0 x1 x2为两实根 三 二次函数在闭区间上的最大值和最小值设f x a x k 2 h a 0 在区间 m n 上的最值问题有 ax2 bx c a x h 2 k a x x1 x x2 1 若k m n 则ymin f k 12 ymax max f m f n 2 若k m n 则当k m时 ymin 13 ymax 14 当k n时 ymin 15 ymax 16 当a 0 时 可仿此讨论 h f m f n f n f m 盘点指南 向上 交点的横坐标 不相交 ax2 bx c 0 向下 交点的横坐标 不相交 ax2 bx c 0 ax2 bx c a x h 2 k 11a x x1 x x2 12h 13f m 14f n 15f n 16f m 2 设a为常数 f x x2 4x 3 若函数f x a 为偶函数 则a f f a 解 由函数f x a 为偶函数 知f x 关于直线x a对称 而f x x2 4x 3的对称轴是直线x 2 所以a 2 从而f f a f f 2 f 1 8 2 8 3 已知函数f x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 1 解 由题知f x 在r上是增函数 故得2 a2 a 解得 2 a 1 故选c c 1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 则此二次函数的解析式为 解法1 利用二次函数的一般式 设f x ax2 bx c a 0 题型1求二次函数的解析式 第一课时 由题意得解得所以所求二次函数为f x 4x2 4x 7 解法2 利用二次函数的顶点式 设f x a x m 2 n 因为f 2 f 1 所以抛物线的对称轴为x 所以m 又根据题意函数有最大值8 所以n 8 所以y f x 又因为f 2 1 所以解得a 4 所以解法3 利用二次函数的零点式 由已知 f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值 f x max 8 即解得a 4或a 0 舍去 所以所求函数解析式为 点评 用待定系数法求二次函数的解析式 关键是根据题中条件得到待求系数的方程组 而正确选用二次函数的形式 可简化求解过程 已知二次函数f x 满足 对任意x r 都有f x f 1 3成立 且f 0 2 则f x 的解析式是 a x2 2x 2b x2 2x 2c x2 2x 2d x2 2x 2解 由已知 当x 1时 f x 取最大值3 从而可设f x a x 1 2 3 a 0 因为f 0 2 所以a 3 2 即a 1 所以f x x 1 2 3 x2 2x 2 故选b 题型2二次函数在闭区间上的最值问题 点评 3 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式f x 2x的解集为 1 3 1 若方程f x 6a 0有两个相等的实数根 求f x 的解析式 2 若f x 的最大值为正数 求a的取值范围 解 1 因为f x 2x 0的解集为 1 3 所以f x 2x a x 1 x 3 且a 0 因此f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0 得ax2 2 4a x 9a 0 题型3三个二次的关系 因为方程 有两个相等的实数根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 即5a2 4a 1 0 解得a 1或a 由于a 0 舍去a 1 将a 代入 得f x 的解析式为f x 2 由f x ax2 2 1 2a x 3a 及a 0 可得f x 的最大值为 由可得a 或 a 0 故当f x 的最大值为正数时 实数a的取值范围是 0 点评 二次函数是联系二次方程 二次不等式的枢纽 解题中常以二次方程为基础 以二次函数图象为工具 解决有关方程 不等式 函数等综合问题 已知函数满足f c2 1 求常数c的值 2 解不等式f x 2c 解 1 因为0 c 1 所以c2 c 由f c2 即c3 1 故c 2 由 1 得f x 由f x 2c得 当0 x 时 得x 1 1 解得0 x 当 x 1时 得6x2 7x 3 1 解得 x 1 综上可得 f x 2c的解集为 0 1 1 求二次函数在某区间内的最大值和最小值 是二次函数中的一个重点内容 其基本思路是先对二次函数的解析式配方化为顶点式 再考察其对称轴与给定区间的相对位置关系 然后结合图象写出最值 2 一般地 二次函数的最值在区间端点或顶点处产生 若区间变而对称轴不变 或区间不变而对称轴变 或区间和对称轴都变 则需分类讨论求解 对称轴在