【走向高考】高三数学一轮复习 210函数模型及其应用课件 北师大版.ppt

考纲解读1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 考向预测1 函数模型及其应用历年来一直是高考的热点 主要考查现实生活中的生产经营 环境保护 工程建设等热点问题中的增长率 最优化问题 2 多以解答题为主 考查建模能力 综合性强 属中高档题 知识梳理1 几类函数模型 2 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 3 函数模型的应用实例的基本题型 1 给定函数模型解决实际问题 2 建立确定性的函数模型解决问题 3 建立拟合函数模型解决实际问题 答案 d 2 有容积相等的桶a和桶b 开始时桶a中有a升水 桶b中无水 现把桶a中的水注入桶b中 t分钟后 桶a的水剩余y1 amt 升 其中m为正常数 假设5分钟时 桶a和桶b的水相等 要使桶a的水只有时 必须再经过 a 12分钟b 13分钟c 14分钟d 15分钟 答案 d 3 2011 青岛二中期中 某宾馆有n n n 间标准相同的客房 客房的定价将影响入住率 经调查分析 得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表 对每间客房 若有客住 则成本为80元 若空闲 则成本为40元 要使此宾馆每天的住房利润最高 则每间客房的定价大致应为 a 220元b 200元c 180元d 160元 答案 c 4 2007年7月1日某人到银行存入一年期款a元 若年利率为x 按复利计算 则到2012年7月1日可取款 a a 1 x 5元b a 1 x 6元c a 1 x 5元d a 1 x5 元 答案 a 解析 因为年利率按复利计算 所以到2012年7月1日可取款a 1 x 5 5 鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛 预计卖出门票2 4万张 票价有30元 50元和80元三种 且票价30元和50元的张数的积为0 6万 设x是门票的总收入 经预算 扣除其他各项开支后 此次足球义赛的纯收入函数为y lg2x 则这三种门票分别为 万张时为失学儿童募捐纯收入最大 答案 0 6 1 0 8 6 下图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像 收支差额 车票收入 支出费用 由于目前本条线路亏损 公司有关人员分别将图移动为图1和图2 从而提出两种扭亏为盈的建议 请你根据图像用简练的语言叙述出 建议 1 是 建议 2 是 答案 1 不改变车票价格 减少支出费用 2 不改变支出费用 提高车票价格 7 有一批材料可以建成200m的围墙 如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如图所示 求围成的矩形最大面积 围墙厚度不计 例1 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过4吨时每吨为1 80元 当用水超过4吨时 超过部分每吨3 00元 某月甲 乙两户共交水费y元 已知甲 乙两户该月用水量分别为5x 3x 吨 1 求y关于x的函数 2 若甲 乙两户该月共交水费26 4元 分别求出甲 乙两户该月的用水量和水费 分析 1 分段写出y关于x的函数解析式 2 求出x再分别确定甲 乙的水量和水费 解析 1 当甲的用水量不超过4吨时 即5x 4 乙的用水量也不超过4吨 y 1 8 5x 3x 14 4x 当甲的用水量超过4吨 乙的用水量不超过4吨 即3x 4且5x 4时 y 4 1 8 3x 1 8 3 5x 4 20 4x 4 8 当乙的用水量超过4吨 即3x 4时 y 2 4 1 8 3 3x 4 5x 4 24x 9 6 点评 本题所列出的函数为分段函数 要注意结合题意明确各段的自变量的取值范围 1 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的 如出租车计费 个人所得税等 分段函数是刻画实际问题的重要模型 2 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段变量的范围 特别是端点值 3 构造分段函数时 要力求准确 简捷 做到分段合理 不重不漏 电信局为了配合客户的不同需要 设有a b两种优惠方案 这两种方案的应付电话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 注 图中mn cd 试问 1 若通话时间为2小时 按方案a b各付话费多少元 2 方案b从500分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围内 方案b才会比方案a优惠 解析 由图可知m 60 98 n 500 230 c 500 168 mn cd 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fa x fb x 则 例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品 其生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x 8000 已知此生产线年产量最大为210吨 1 求年产量为多少吨时 生产每吨产品的平均成本最低 并求最低成本 2 若每吨产品平均出厂价为40万元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 分析 解应用题一般要根据题意建立函数关系式 利用配方 基本不等式 导数或函数的单调性研究函数的最值等 从而解决实际问题 点评 1 对号 函数问题及二次函数是我们比较熟悉的两种函数 对 对号 函数问题通常采用基本不等式 但要注意等号成立的条件 当等号不成立时 采用函数的单调性解决 2 二次函数一般看函数图像的开口方向和对称轴与单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易错解 某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料 根据以前的统计数据 若零售价定为每瓶4元 每月可销售400瓶 若每瓶售价每降低0 05元 则可多销售40瓶 在每月的进货量当月销售完的前提下 请你给该商店设计一个方案 销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时 才可获得最大的利润 例3 某城市现有人口总数为100万人 如果自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式 2 计算10年后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年 1 01210 1 127 1 01215 1 196 1 01216 1 210 分析 本题为人口增长率问题 可通过分析计算每年的城市人口总数与年份的关系而得到一般规律 解析 1 1年后该城市人口总数y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 x 2 10年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 10 112 7 万 3 x年后该城市人口将达到120万人即100 1 1 2 x 120 x log1 0121 2 15 28年 取x 16 年 点评 本题为增长率问题 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题常可以用指数函数模型表示 通常可以表示为y n 1 p x 其中 n为基础数 p为增长率 x为时间 的形式 教材改编题 一种放射性元素 最初的质量为500g 按每年10 衰减 1 求t年后 这种放射性元素质量 的表达式 2 求这种放射性元素的半衰期 精确到0 1年 解析 1 最初的质量为500 经过1年 500 1 10 500 0 91 经过2年 500 1 10 2 500 0 92 经过t年 500 0 9t 某公司欲投资13亿元进行项目开发 现有以下6个项目可供选择 设计一个投资方案 使投资13亿元所获利润大于1 6亿元 则应选的项目是 只需写出项目的代号 答案 a b e或b d e f 解析 当投资为13亿元且利润大于1 6亿元时 有以下两种投资选择方案 f a b e 0 55 0 4 0 9 1 85 亿元 f b d e f 0 4 0 5 0 9 0 1 1 9 亿元 常见函数模型的理解 1 直线模型 即一次函数模型 其增长特点是直线上升 x的系数k 0 通过图像可以很直观地认识它 2 指数函数模型 能用指数型函数表达的函数模型 其增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 a 1 常形象地称为 指数爆炸 注意 指数函数y ax a 1 从图像上看 在开