【走向高考】高三数学一轮复习 122排列与组合课件（北师大版）.ppt

考纲解读1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 考向预测1 排列 组合问题每年必考 2 以选择题 填空题的形式考查 或在解答题中和概率相结合进行考查 3 以实际问题为背景以考查排列数 组合数为主 同时考查分类整合的思想及解决问题的能力 知识梳理1 排列 1 排列的定义 从n个的元素中取出m m n 个元素 按照一定的排成一列 叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列 2 排列数的定义 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的的个数 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数 用anm表示 3 排列数公式 anm 不同 顺序 所有排列 n n 1 n 2 n m 1 4 全排列 n个不同的元素全部取出的 叫做n个不同元素的一个全排列 ann n n 1 n 2 2 1 于是排列数公式写成阶乘的形式为 这里规定0 排列 n 1 2 组合 1 组合的定义 从n个的元素中取出m m n 个元素为叫作从n个不同的元素中取出m m n 个元素的一个组合 2 组合数的定义 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的的个数 叫做从n个不同的元素中取出m m n 个元素的组合数 用cnm表示 不同 一组 所有组合 4 组合数的性质 cnm cn 1m 1 1 cnn m cnm cnm 1 基础自测1 2010 四川文 由1 2 3 4 5组成没有重复数字且1 2都不与5相邻的五位数的个数是 a 36b 32c 28d 24 答案 a 解析 本题考查排列与组合知识 当5排在两端时 有c21c21a33 24种排法 当5不排在两端 即放在3和4之间时 有a22a33 12种排法 故共有24 12 36种排法 2 2009 辽宁理 从5名男医生 4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队 要求其中男 女医生都有 则不同的组队方案共有 a 70种b 80种c 100种d 140种 答案 a 解析 考查排列组合有关知识 可分两类 男医生2名 女医生1名或男医生1名 女医生2名 共有c52 c41 c51 c42 70种 选a 3 2009 全国卷 文 甲组有5名男同学 3名女同学 乙组有6名男同学 2名女同学 若从甲 乙两组中各选出2名同学 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 a 150种b 180种c 300种d 345种 答案 d 4 2010 辽宁理 如果执行右面的程序框图 输入正整数n m 满足n m 那么输出的p等于 a cnm 1b anm 1c cnmd anm 答案 d 解析 由程序框图知k 1 p 1 p 1 n m 1 k 2 p n m 1 n m 2 k m 1 p n m 1 n m 2 n 1 k m p n m 1 n m 2 n 1 n anm 5 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官 每个乡镇至少一名 则不同的分配方案有 种 用数字作答 答案 36 解析 因为每个乡镇至少一名 所以有一个乡镇有2名的情况 假设a乡镇有2名学生 则有c42a22 12 种 情况 所以不同的分配方案共有3 12 36 种 情况 6 2010年广州亚运会火炬接力传递路线共分6段 传递活动分别由6名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒火炬手只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方案共有 种 作数字作答 答案 96 解析 先安排最后一棒 a21 再安排第一棒 a21 最后安排中间四棒 a44 不同的传递方案有a21a21a44 96 种 7 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试 直至区分出所有次品为止 若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现 则这样的测试方法有多少种可能 解析 恰好在第5次把次品全部发现 说明第5次一定是最后一个次品 前4次共检测了三个次品 一个正品 所以可能的测试方法有c61c43a44 576种 例1 解方程或不等式 1 3ax3 2ax 12 6ax2 2 a9x 6a6x 2 分析 利用排列数 组合数的定义及公式求解 注意定义中m n条件的应用 点评 在解有关排列数 组合数的方程或不等式时 必须熟练掌握排列数 组合数公式的两种形式 注意anm cnm 中的n必须为正整数 m为非负整数 且n m 由此求出方程或不等式的解后 要进行检验 把不符合要求的解舍去 1 求值cn5 n cn 19 n 2 证明恒等式cn 1m cn 2m cm 1m cmm cnm 1 n n n 4或5 当n 4时 原式 c41 c55 5 当n 5时 原式 c50 c64 16 2 证明 左边 cmm cm 1m cm 2m cn 2m cn 1m cm 1m 1 cm 1m cm 2m cn 2m cn 1m cm 2m 1 cm 2m cn 2m cn 1m cn 2m 1 cn 2m cn 1m cn 1m 1 cn 1m cnm 1 右边 例2 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 1 甲不站两端 2 甲 乙必须相邻 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙之间间隔两人 5 甲 乙站在两端 6 甲不站左端 乙不站右端 分析 本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题 解决问题的能力 解析 1 方法一要使甲不站在两端 可先让甲在中间4个位置上任选1个 有a41种站法 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有a55种站法 根据分步乘法计数原理 共有站法 a41 a55 480 种 方法二由于甲不站两端 这两个位置只能从其余5个人中选2个人站 有a52种站法 然后中间4人有a44种站法 根据分步乘法计数原理 共有站法 a52 a44 480 种 方法三若对甲没有限制条件共有a66种站法 甲在两端共有2a55种站法 从总数中减去这两种情况的排列数 即共有站法 a66 2a55 480 种 2 方法一先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 有a55种站法 再把甲 乙进行全排列 有a22种站法 根据分步乘法计数原理 共有a55 a22 240 种 站法 方法二先把甲 乙以外的4个人作全排列 有a44种站法 再在5个空档中选一个供甲 乙放入 有a51种方法 最后让甲 乙全排列 有a22种方法 共有a44 a51 a22 240 种 3 因为甲 乙不相邻 中间有隔档 可用 插空法 第一步先让甲 乙以外的4个人站队 有a44种 第二步再将甲 乙排在4人形成的5个空档 含两端 中 有a52种 故共有站法为a44 a52 480 种 也可用 间接法 6个人全排列有a66种站法 由 2 知甲 乙相邻有a55 a22 240种站法 所以不相邻的站法有a66 a55 a22 720 240 480 种 4 方法一先将甲 乙以外的4个人作全排列 有a44种 然后将甲 乙按条件插入站队 有3a22种 故共有a44 3a22 144 种 站法 方法二先从甲 乙以外的4个人中任选2人排在甲 乙之间的两个位置上 有a42种 然后把甲 乙及中间2人看作一个 大 元素与余下2人作全排列有a33种方法 最后对甲 乙进行排列 有a22种方法 故共有a42 a33 a22 144 种 站法 5 方法一首先考虑特殊元素 甲 乙先站两端 有a22种 再让其他4人在中间位置作全排列 有a44种 根据分步乘法计数原理 共有a22 a44 48 种 站法 方法二首先考虑两端两个特殊位置 甲 乙去站 有a22种站法 然后考虑中间4个位置 由剩下的4人去站 有a44种站法 由分步乘法计数原理共有a22 a44 48 种 站法 6 方法一甲在左端的站法有a55种 乙在右端的站法有a55种 且甲在左端而乙在右端的站法有a44种 共有a66 2a55 a44 504 种 站法 方法二以元素甲分类可分为两类 甲站右端有a55种 甲在中间4个位置之一 而乙不在右端有a41 a41 a44种 故共有a55 a41 a41 a44 504 种 站法 点评 排列问题本质就是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制主要表现在 某些元素 排 或 不排 在哪个位子上 某些元素 相邻 或 不相邻 对于这类问题在分析时 主要按 优先 原则 即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子 如本题 1 中的方法一 方法二 对于 相邻 问题可用 捆绑法 对 不相邻 问题可用 插空法 如本题 2 与 3 当正面求解较困难时 也可用 间接法 如本题 6 2011 江苏南京一模 有5个同学排队照相 求 1 甲 乙2个同学必须相邻的排法有多少种 2 甲 乙 丙3个同学互不相邻的排法有多少种 3 乙不能站在甲前面 丙不能站在乙前面的排法有多少种 4 甲不站在中间位置 乙不站在两端两个位置的排法有多少种 分析 本题是有限制条件的排列问题 它们分别属于相邻问题 不相邻问题 顺序一定问题 在与不在问题等模型 应采取相应的捆绑法 插空法 直接法 间接法 排除法等求解 解析 1 这是典型的相邻问题 采用捆绑法 先排甲 乙 有a22种方法 再与其他3名同学排列 共有a22 a44 48种不同排法 2 这是不相邻问题 采用插空法 先排其余的2名同学 有a22种排法 出现3个空 将甲 乙 丙插空 所以共有a22 a33 12种排法 3 这是顺序一定问题 由于乙不能站在甲前面 丙不能站在乙前面 故3人只能按甲 乙 丙这一种顺序排列 方法一 5人的全排列共有a55种 甲 乙 丙3人全排列有a33种 而3人按甲 乙 丙顺序排列是全排列中的一种 所以共有 20种排法 方法二 采用插空法 先排甲 乙 丙3人 只有一种排法 然后插入1人到甲 乙 丙中 有4种插法 再插入1人 有5种插法 故共有4 5 20种排法 4 方法一 直接法 若甲排在了两端的两个位置之一 甲有a21种 乙有a31种 其余3人有a33种 所以共有a21 a31 a33种 若甲排在了第2和第4两个位置中的一个 有a21种 这时乙有a21种 其余3人有a33种 所以一共有a21 a21 a33种 因此符合要求的一共有a21 a31 a33 a21 a21 a33 60种排法 方法二 间接法 5个人全排列有a55种 其中甲站在中间时有a44种 乙站在两端时有2a44种 且甲站中间同时乙在两端的有2a33种 所以一共有a55 a44 2a44 2a33 60种排法 点评 对于相邻问题 可以先将这些要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列 同时要考虑相邻元素的内部排列 这称为 捆绑法 对于不相邻问题 可先排其他元素 然后将这些要求不相邻的元素插入空档 这称为 插空法 对于顺序一定的排列问题 可先将全部元素进行全排列 再除以要求顺序一定的元素之间的全排列数 例3 某旅游团要从8个风景点中选出两个风景点作为当天的游览地 满足下面条件的选法各有多少种 1 甲 乙两个风景点至少选一个 2 甲 乙两个风景点至多选一个 3 甲 乙两个风景点必须选一个且只能选一个 解析 1 解法一甲 乙至少选一个有两种情况 甲 乙都选有c22种 或者甲 乙两个中只选一个有c21c61种 所以至少选一个的情况有 c22 c21c61 1 12 13种 解法二甲 乙至少有一个可看成所有选法种数c82减去甲 乙都不选的种数c62 所以甲 乙至少选一个的种数为 c82 c62 28 15 13 2 解法一甲 乙至多选一个有两种情况 甲 乙都不选有c62种选法或者甲 乙两个中只选一个 有c21c61 所以甲 乙至多选一个的种数为 c62 c21c61 15 12 27 解法二甲 乙至多选一个可看成所有选法种数c82减去甲 乙都选的种数c22 所以甲 乙至多选一个的种数为 c82 c22 28 1 27 3 甲 乙必须选一个且只能选一个的种数为 c21c61 12 点评 对于从正面考虑情况较多的问题可以先求出没有条件限制的组合数 再减去不符合条件的组合数 这样使得计算较为简单 这种方法是我们平时所说的从反面考虑问题 这种方法对于元素较多的组合数会非常有效 从7名男生和5名女生中选取5人 分别符合下列条件的选法总数有多少种 1 a b必须当选 2 a b必不当选 3 a b不全当选 4 至少有2名女生当选 5 选取3名男生和2名女生分别担任班长 体育委员等5种不同的工作 但体育委员必须由男生担任 班长必须由女生担任 分析 1 2 3 属于组合问题 可用直接法 4 属于组合问题 可用间接法 5 属于先选后排问题 应分步完成 解析 1 由于a b必须当选 那么从剩下的10人中选取3人即可 c103 120种 2 从除去a b两人的10人中选5人即可 有c105 252种 3 全部选法有c125种 a b全当选有c103种 故a b不全当选有c125 c103 672种 4 注意到 至少有2名女生 的反面是只有一名女生或没有女生 故可用间接法进行 有c125 c51 c74 c75 596种选法 5 分三步进行 第一步 选1男1女分别担任两个职务为c71 c51 第二步 选2男1女补足5人有c62 c41种 第三步 为这3人安排工作有a33 由分步乘法计数原理共有c71 c51 c62 c41 a33 12600种选法 点评 在解组合问题时 常遇到至多 至少问题 此时可考虑用间接法求解以减少运算量 如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则 例4 按下列要求分配6本不同的书 各有多少种不同的分配方式 1 分成三份 1份1本 1份2本 1份3本 2 甲 乙 丙三人中 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 平均分成三份 每份2本 4 平均分配给甲 乙 丙三人 每人2本 5 分成三份 1份4本 另外两份每份1本 6 甲 乙 丙三人中 一人得4本 另外两人每人得1本 7 甲得1本 乙得1本 丙得4本 解析 这是一个分配问题 解题的关键是搞清事件是否与顺序有关 对于平均分组问题更要注意顺序 避免计数的重复或遗漏 1 无序不均匀分组问题 先选1本有c61种选法 再从余下的5本中选2本有c52种选法 最后余下3本全选有c33种方法 故共有c61c52c33 60种 2 有序不均匀分组问题 由于甲 乙 丙是不同的三人 在第 1 题基础上 还应考虑再分配 共有c61c52c33a33 360种 3 无序均匀分组问题 先分三步 则应是c62c42c22种方法 但是这里出现了重复 不妨记6本书为a b c d e f 若第一步取了ab 第二步取了cd 第三步取了ef 记该种分法为 ab cd ef 则c62c42c22种分法中还有 ab ef cd cd ab ef cd ef ab ef cd ab ef ab cd 共a33种情况 而这a33种情况仅是ab cd ef的顺序不同 因此只能作为一种分法 故分配方式有 15种 7 直接分配问题 甲选1本有c61种方法 乙从余下5本中选1本有c51种方法 余下4本留给丙有c44种方法 共有c61c51c44 30种 点评 均匀分组与不均匀分组 无序分组与有序分组是组合问题的常见题型 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数 还要充分考虑到是否与顺序有关 有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数 有4个不同的小球 4个不同的盒子 现要把球全部放进盒子内 1 恰有1个盒子不放球 共有多少种方法 2 恰有2个盒子不放球 共有多少种方法 分析 恰有1个空盒 说明必定有1个盒子内要放入2个球 先分组再排列计算 4个球放在2个盒子内要注意分类计数 解析 1 确定1个空盒有c41种方法 选2个球捆在一起有c42种方法 把捆在一起的2个小球看成 一个 整体 则意味着将3个球分别放入3个盒子内 有a33种方法 故共有c41c42a33 144种 点评 解决排列 组合综合题目 一般是将符合要求的元素取出 组合 或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 其中分组时 要注意 平均分组 与 不平均分组 的差异及分类的标准 1 排列数公式和组合数公式都有阶乘形式与乘积形式 前者多用于对含有字母的式子进行变形与论