【第一方案】高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布第三节 二项式定理课件 （理）.ppt

第三节二项式定理 理 点击考纲1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 关注热点1 高考中对二项式定理的考查 主要涉及利用通项公式求展开式的特定项 利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题 2 考查二项展开式中的特定项 某项的系数等是高考的热点 3 以选择题 填空题为主 综合性的大题较少 1 二项式定理对于n n 这个公式所表示的规律叫做二项式定理 右边的多项式叫 a b n的二项展开式 a b n cn0an cn1an 1b cnran rbr cnnbn 二项展开式的通项为tr 1 a b n的展开式的第r 1项 二项展开式中的cnr r 0 1 2 n 叫 cnran rbr tr 1 cnran rbr 二项式系数 1 在 a b n与 b a n的展开式中 其通项相同吗 提示 从整体上看 a b n与 b a n的展开式是相同的 但具体到某一项是不同的 如第r 1项tr 1 cnran rbr t r 1 cnrbn rar 2 二项式系数的性质 2 二项式系数与项的系数有什么区别 提示 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 二项式系数是指cn0 cn1 cnn 它只与各项的项数有关 而与a b的值无关 而项的系数是指该项中除变量外的部分 它不仅与各项的二项式系数有关 而且也与a b的值有关 答案 c 2 二项式 a 2b n展开式中的第二项的系数是8 则它的第三项的二项式系数是 a 24b 18c 16d 6解析 tr 1 cnran r 2b r t2 cn1an 1 2b 2cn1an 1b 2cn1 8 n 4 第三项的二项式系数为c42 6 答案 d 答案 b 4 若 ax 1 5的展开式中x3的系数是 80 则实数a的值是 答案 2 5 若 x2 1 x 2 9 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a11 x 1 11 则a1 a2 a11 解析 令x 2 则有a0 a1 a2 a11 22 1 2 2 9 0 再令x 1 则有a0 12 1 1 2 a1 a2 a3 a11 2 答案 2 方法探究 1 解此类问题可以分两步完成 第一步是根据所给出的条件 特定项 和通项公式 建立方程来确定指数 求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件 即n r均为非负整数 且n r 第二步是根据所求的指数 再求所求解的项 2 有理项是字母指数为整数的项 解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数 根据具体要求 令其为整数 再根据数的整除性来求解 若求二项展开式中的整式项 则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数 求解方式与求有理项的方式一致 令8 2r 0 则r 4 t5 1 4c84 70 令8 2r 2 则r 5 t6 1 5c85x 2 56x 2 故所求常数项为70 2 56 42 2x 3y 9展开式中 求 1 二项式系数之和 2 各项系数之和 3 所有奇数项系数之和 4 各项系数绝对值的和 思路导引 设 2x 3y 9 a0 x9 a1x8y a2x7y2 a9y9 利用二项式系数的性质直接求 1 利用赋值法求 2 3 4 解析 设 2x 3y 9 a0 x9 a1x8y a2x7y2 a9y9 1 二项式系数之和为c90 c91 c92 c99 29 2 令x 1 y 1得各项系数之和a0 a1 a2 a9 2 3 9 1 方法探究 1 赋值法 普遍适用于恒等式 是一种重要的方法 对形如 ax b n ax2 bx c m a b r 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 解析 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 1 a0 c70 1或令x 0 得a0 1 a1 a2 a3 a7 2 4 法一 1 2x 7展开式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 3 2 即可 其值为2187 法二 a0 a1 a2 a7 即 1 2x 7展开式中各项的系数和 a0 a1 a2 a7 37 2187 1 已知n n 求1 2 22 23 24n 1除以17的余数 2 求 1 999 5精确到0 001的近似值 思路导引 1 先用等比数列前n项和公式求和 然后转化成含17的二项式 2 把 1 999 5转化为二项式 适当展开 根据精确度的要求 取必要的几项即可 方法探究 1 二项式定理的一个重要用途是做近似计算 当n不很大 x 比较小时 1 x n 1 nx 2 利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题 在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形 使被除式 数 展开后的每一项都含有除式的因式 要注意变形的技巧 3 1 求证 32n 2 8n 9能被64整除 n n 2 求c271 c272 c2727除以9的余数 1 证明 32n 2 8n 9 32 32n 8n 9 9 9n 8n 9 9 8 1 n 8n 9 9 cn08n cn18n 1 cnn 1 8 cnn 1 8n 9 9 8n cn18n 1 cnn 282 9 8n 9 8n 9 9 82 8n 2 cn1 8n 3 cnn 2 64n 64 9 8n 2 cn18n 3 cnn 2 n 显然括号内是正整数 原式能被64整除 2 解析 s c271 c272 c2727 227 1 89 1 9 1 9 1 99 c91 98 c98 9 c99 1 9 98 c91 97 c98 2 s除以9的余数为7 2011 成都模拟 12分 1 已知n n 求证 1 2 22 23 25n 1能被31整除 2 求0 9986的近似值 使误差小于0 001 2 0 9986 1 0 002 6 1 c61 0 002 c62 0 002 2 c63 0 002 3 8分 第三项t3 15 0 002 2 0 00006 0 001 以后各项更小 0 9986 1 0 012 0 988 12分 考向分析 从近两年的高考试题来看 求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点 题型为选择题或填空题 分值在5分左右 属容易题 在考查基本运算 基本概念的基础上注重考查方程思想 等价转化思想 预测2012年高考 求