【成功新学案】高三数学一轮复习 2.1《映射、函数及反函数》课件.ppt

第二章函数 第1课时映射 函数及反函数 1 映射 1 定义 设a b是两个集合 如果按照某种对应关系f 对于集合a中的 在集合b中都有的元素和它对应 那么 这样的对应 包括集合a b 以及集合a到集合b的对应关系f 叫做的映射 记作f a b 2 象和原象 给定一个集合a到集合b的映射 且a a b b 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的象 元素a叫做元素b的 任何一个元素 唯一 集合a到集合b 原象 2 函数 1 函数的定义设a b是非空的数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a x的取值范围a叫做函数的 函数值的集合 f x x a 叫做函数的 2 函数的三要素 和 都有唯一确定的数f x 值域 定义域 定义域 值域 对应法则 3 函数的表示法表示函数的常用方法有 列表法 解析法 图象法 3 反函数 1 定义函数y f x x a 中 设它的值域为c 根据这个函数中x y的关系 用y把x表示出来 得到x y 如果对于y在c中的 通过x y x在a中都有和它对应 那么 x y 就表示y是自变量 x是自变量y的函数 这样的函数x y y c 叫做函数y f x x a 的反函数 记作x f 1 y 习惯上用x表示自变量 用y表示函数 把它改写成y f 1 x 2 互为反函数的函数图象的关系函数y f x 的图象和它的反函数y f 1 x 的图象关于直线y x对称 任何一个值 唯一的值 1 设f x x2是集合a到集合b的映射 且b中元素都有原象 如果a 1 2 则a b等于 a b 1 c 或 1 2 d 1 或 1 2 答案 b 解析 f 1 x x2 x 0 答案 b 解析 a中定义域不同 b中解析式不同 c中定义域不同 答案 d 答案 1 解析 当x 0时 2x 0 故不合题意 当x 0时 x2 1 10 x 3 答案 3 1 映射中集合a的任一元素在集合b中都有它的象 2 映射中集合a的任一元素在集合b中的象是唯一的 已知映射f a b 其中a b r 对应法则f x y x2 2x 对于实数k b 在集合a中不存在原象 则k的取值范围是 a k 1b k 1c k 1d k 1 解析 方法一 方程思想 已知象k求原象x 即求方程 x2 2x k的实数解 由题意知k在a中无原象 即方程x2 2x k 0在r内无实根 2 2 4k1 当k 1时 k在集合a中不存在原象 故选a 方法二 函数思想 由题意知 f x x 1 2 1的象集为 1 1 b 即映射f x x 1 2 1的象集是b的真子集 对于k b 在集合中无原象 如图知k的取值范围是 1 故选a 答案 a 变式训练 1 在例1条件下 若 15 b 则在集合a中与之对应的元素x为何值 解析 15 b x2 2x 15 即x2 2x 15 0解之得x 3或x 5 判断两个函数是否相同 只需判断这两个函数的定义域与对应法则是否相同 1 定义域和对应法则都相同 则两个函数表示同一函数 2 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 它们也不一定是同一函数 因为定义域 值域不能唯一地确定函数的对应法则 3 两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关 解析 1 f x 的定义域为 0 g x 的定义域为 0 0 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 2 f x 的值域为 g x 的值域为 0 值域不同 故f x 与g x 也不是同一函数 解析 1 当m 1时 f m m 2 求反函数的步骤是 一解 二换 三定义 所谓一解 即首先由给出的原函数的解析式y f x 反解出用y表示x的式子x f 1 y 二换 即将x f 1 y 中的x y两个字母互换 得到y f 1 x 即为所求的反函数 即先解后换 三定义 即求出反函数的定义域 即原函数的值域 解析 设f 1 18 a 则原函数必过点 a 18 则有f a a2 2 18 即a 4 又a 0 故a 4 所以f 1 18 4 答案 4 1 正确理解函数的概念是关键 函数的本质是一种特殊的对应关系 它的特殊性在于 1 它是非空数集到非空数集的对应 2 定义域中的每一个元素只有一个函数值 3 定义域中的每个元素一定有函数值 确定一个函数需要三个要素 定义域 对应法则 值域 对应法则是规定元素对应关系的法则 它不一定能够用解析式表示 如列表法和图象法表示的函数 对于f x 可以理解为根据对应法则f 自变量x对应的函数值 也可理解为根据对应法则f产生函数f x 表示函数时 前面一般加 函数 二字 列表法 图象法和解析法是函数三种最常用的表示方法 函数的图象是直观理解函数性质和解决函数问题的有力工具 注意灵活运用 2 求反函数时 一要注意在开方时 的选取由原函数的定义域确定 二要注意标明反函数的定义域 特别是当使反函数的解析式有意义的自变量的取值集合于反函数的定义域不相同时 更要标明其定义域 本节知识是研究函数的基础 体现对函数的概念的理解和深化 是高考重点考查的内容之一 通过对近三年高考试题的统计分析 有以下命题规律 1 考查热点 求函数值和反函数 2 考查形式 主要题型是选择题 填空题 整个命题过程紧扣课本 突出重点 以低档题为主 3 考查角度 一是对映射和函数概念的考查 常以定义 新运算的形式重点考查 对应 的理解 同时也考查学生的创新思维能力 二是求一个函数的反函数 做题时必须熟练掌握用y表示x的变形技巧 并且能够正确求出原函数的值域 从而确定反函数的定义域 4 命题趋势预测2012年高考对反函数的考查基本不变 主要还是以求反函数和反函数的性质为主 理科要突出对反函数的性质的考查 难度也不会太大 2010 上海卷 对任意不等于1的正数a 函数f x loga x 3 的反函数的图象都经过点p 则点p的坐标为 解析 当x 2时 y loga 2 3 loga1 0 f x 都经过a 2 0 f x 的反函数都过p 0 2 答案 0 2 阅后报告 本题考查反函数的性质 解题突破点是 找出 原函数所经过的点 利用两者关于y x对称来求解 1 2010 全国卷 函数y 1 ln x 1 x 1 的反函数是 a y ex 1 1 x 0 b y ex 1 1 x 0 c y ex 1 1 x r d y e