2019年高考数学一轮总复习 专题32 等差、等比数列的概念及基本运算检测 理.doc

专题32递推数列本专题特别注意：1.等差数列通项公式的推广2. 等差数列通项公式的推广3.等差中项的应用4. 等比中项的应用5.前n项和的应用6.等差等比数列性质的应用【学习目标】1掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列与等比数列的判断方法3掌握等差数列与等比数列求和的方法【方法总结】1.等差、等比数列的五个基本量a1，an，n，d(q)，Sn.一般地“知三求二”，通过构建方程(组)求出特征量a1，d(q)，则其余问题可解.2.等差、等比计算型问题注意函数思想、方程思想的渗透；消元法和整体代入法的灵活运用.3.等差数列an的单调性由公差d确定.若d0，则等差数列an递增；若d0，则等差数列an递减.4.等比数列an的单调性由首项a1和公比q综合确定.若q0，q1或a10，0q1，则等比数列an递增；若a11或a10，0q1，则等比数列an递减.【高考模拟】一、单选题1已知数列为等差数列，则（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.2数列是等差数列，则A 16 B -16 C 32 D 【答案】D【解析】【分析】由，可求得，利用等差数列的通项公式可得结果.【详解】因为，所以，又因为，所以，可得 ，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3在数列an中，a11，an+1an1，则a2018等于()A 2 019 B 2 018 C 2 017 D 2 016【答案】B【解析】【分析】由递推公式可判断数列an是以首项为1，公差为1的等差数列，从而可得答案.【点睛】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，可构造等差数列.4已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A B 1 C D 2【答案】A【解析】分析：利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，求出，从而求出的值。详解：由有，由等差数列的性质有，所以，又，所以，选A.点睛：本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题。在等差数列中，若，且 ，则。5已知数列满足：，那么使成立的的最大值为（ ）A 4 B 5 C 24 D 25【答案】C【解析】分析：由题意知an2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案详解：由题意an+12an2=1，an2为首项为1，公差为1的等差数列，an2=1+（n1）1=n，又an0，则an=，由an5得5，n25那么使an5成立的n的最大值为24故选：C点睛：本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用6在等差数列中，已知,则公差=A B C 4 D 【答案】A【解析】分析：由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.7已知等差数列的首项和公差均不为零，且，成等比数列，则 ( )A B C D 【答案】D【解析】分析：由，成等比数列，得，从而即可求得答案.详解： ，成等比数列，即，解得：.故选：D.点睛：数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法8已知等差数列的通项公式为，且满足，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由等差数列先求出通项，然后求出点睛：本题考查了等差数列的通项及和的运算，较为基础，运用公式即可求出结果。9已知是公差为的等差数列，为数列的前项和，若，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由是公差为的等差数列，可得，解得，利用等差数列求和公式求解即可.详解：是公差为的等差数列，解得，则 ，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.10已知数列满足：，那么使成立的的最大值为（ ）A 4 B 5 C 24 D 25【答案】C【解析】分析：由题意知an2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案详解：由题意an+12an2=1，an2为首项为1，公差为1的等差数列，an2=1+（n1）1=n，又an0，则an=，由an5得5，n25那么使an5成立的n的最大值为24故选：C点睛：本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用11张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A B C D 【答案】C【解析】依题意可知这是首项为，公差为的等差数列，所以，解得.12已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（ ）A B 最小 C D 【答案】B13在等差数列中，则数列的公差（ ）A 2 B 1 C D 【答案】A【解析】分析：直接把两个式子相减，即得数列的公差.详解：把两个式子对应相减得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查等差数列的性质和计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)本题如果解方程组也可以得解，但是计算量稍大，直接把两个式子相减，很快就可以得到d的大小，所以要注意观察已知条件的特点再解答.14已知为等差数列, ,则（ ）A 42 B 40 C 38 D 36【答案】B【解析】分析：由已知结合等差数列的性质可求，然后由即可求解.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法15在数列中，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由题设可以得到是等差数列，从而得到即，利用裂项相消法可求前项和.详解：是等差数列，其首项是1，公差为2，所以，所以，故，故选B.点睛：数列通项的求法，取决递推关系的形式，如果满足，则用累加，特别地如果是常数，则就是等差数列；若，则用累乘，特别地如果是常数，则就是等比数列.其他类型的递推关系则可通过变形构建新数列且新数列的递推关系大多数满足前面两种情形. 16已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（ ）A -1或2 B 0或2 C 2 D 1【答案】C【解析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键17已知数列是等比数列，且，成等差数列，则（ ）A 7 B 12 C 14 D 64【答案】C【解析】分析：先根据条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果.详解：因为，成等差数列，所以所以，选C.点睛：本题考查等比数列与等差数列基本量，考查基本求解能力.18已知数列的前项和为，且，若，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：根据等差数列的判断方法，确定数列为等差数列，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求得的值.点睛：本题考查等差数列的判断方法，等差数列的求和公式及性质，考查了推理能力和计算能力.等差数列的常用判断方法(1) 定义法：对于数列，若 (常数)，则数列是等差数列；(2) 等差中项：对于数列，若 ，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,) 是等差数列;(4)前项和公式：(为常数, ) 是等差数列;(5) 是等差数列是等差数列.19已知为等差数列中的前项和，则数列的公差（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由，可得,解方程组即可的结果.详解：由等差数列中的前项和，得，解得，故选B. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.20在等差数列中，则公差等于（ ）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】C点睛：已知式等差数列中的两项，则等差数列的公差，本题考查学生的变形应用能力和运算能力21中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A 192里 B 96里 C 48里 D 24里【答案】B【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则，解出，所以，选C.22若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A B C D 【答案】C【解析】分析：求出，在A中，不一定是常数，在B中，可能有零项，在D中，当时，数列存在负项，此时无意义，只有C项满足等比数列的定义，并且公比是原数列公比的倒数，从而求得结果.详解：因为数列是等比数列，所以，对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.点睛：该题考查的是有关等比数列的判断问题，在解题的过程中需要对等比数列的定义牢牢掌握，再者就是对等比数列的性质要熟记，对等比数列中的项经过什么样的变换还成等比数列.23已知是等比数列，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：根据等比数列的通项公式和已知条件，建立方程组求出首项和公比，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，再由公式求出数列的前n项和，即可求得的取值范围.点睛：两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列24在等比数列an中，如果a1a418，a2a312，那么这个数列的公比为()A 2 B C 2或 D 2或【答案】C【解析】分析：设等比数列an的公比为q，由a1a418，a2a312，可得，联立解出即可得出. 详解：设等比数列an的公比为q， a1a418，a2a312， ，化为：，解得：或.故选：C.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解25等差数列的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为( )A 8 B C 3 D 【答案】D【解析】分析：利用等差数列的通项同时，等比数列的性质列出方程，求出公差，由此能求出数列的前项和.点睛：本题主要考查了等差数列的前和的求解，其中解答中涉及到等差数列的基本量的运算和等比数列的性质，解题是要认真审题，注意等差数列、等比数列性质的综合运用，着重考查了推理与运算能力.26若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则（ ）A 4 B 2 C D 【答案】D【解析】试题分析：因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为bd，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解详解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=bd，c=b+d，由题设得， ，解方程组得 ，或，d0，b=2，d=6，a=bd=4，故选：D点睛：此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：xd，x，x+d27已知等比数列的公比为，前项和是，则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：先求出“”的等价条件，再根据题意作出判断点睛：等比数列的单调性除了和公比有关外，还与数列的首项有关当或时，数列为递增数列；当或时，数列为递减数列28已知数列满足：，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：通过对变形可知,进而可知数列是首项、公比均为3的等比数列,计算即得结论.详解：变形可知,数列是首项，公比均为3的等比数列，即故选B。点睛：本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.29数列是等差数列，若，构成公比为的等比数列，则( )A 1 B 2 C D 3【答案】A【解析】分析：利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解。点睛：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题。30等比数列中， ，则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】分析：用等比数列的基本量可将“”转化为，求公比的取值范围，进而可得不一定成立；同理将转化为基本量，可证由能推出。详解：如果“”，那么或。因为，当时， ，因为，所以，所以“”不是“”的充分条件。由可得，因为，所以，解得。所以，所以。故“”是“”的必要条件。故选B。点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。本题考查学生的转化能力。31已知直线与正切函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为， ，且有，假设函数的两个不同的零点分别为， ，若在区间内存在两个不同的实数， ，与， 调整顺序后，构成等差数列，则的值为（ ）A B C 或或不存在 D 或【答案】C，不能相邻，否则，将超出范围. 若与之间间隔一个数，设这个数为，则，经分析，数列为时，不成立，不妨设数列为，此时，当时， ，不存在，当时， ，也不存在. 若与之间间隔两个数，即组成一个等差数列， ， ， ，此时，构成等差数列，当时， ，当时， ，故选C. 32设等比数列满足，则公比 ）A 2 B C D 【答案】B【解析】分析：根据题中的条件，找出等比数列的首项和公比所满足的等量关系式，两式相除，消元求得公比的值.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，利用通项公式，将题的条件转化为关于的等量关系式，消元求得公比.33如果函数f(x)对任意a，b满足f(ab)f(a)f(b)，且f(1)2，则( )A 4 018 B 1 006 C 2 010 D 2 014【答案】D【解析】函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=2，=2+2+2=21007=2014故选：D34设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则的值为（ ）A B C -2 D 【答案】B 35数列满足：，则等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题数列满足：，即数列是以为首项，以2 为公比的等比数列，则 故选B.36数列满足， ，则等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】由，得数列为等比数列，且公比为2，又，则，即.故选B.37数列中，已知， ，且，（ 且），则此数列为（ ）A 等差数列 B 等比数列C 从第二项起为等差数列 D 从第二项起为等比数列【答案】D【解析】 由，得，又由，得，解得， ，（ ），且， 且， 时，上式不成立，故数列从第项起是以为公比的等比数列，故选D.38已知数列满足，若，则等于A 1 B 2 C 64 D 128【答案】C【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选C. 39已知数列an的前n项和为Sn，且Snan2(a为常数且a0)，则数列an()A 是等比数列B 当a1时是等比数列C 从第二项起成等比数列D 从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D 40关于数列3,9，2187，以下结论正确的是()A 此数列不是等差数列，也不是等比数列B 此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C 此数列可能是等差数列，但不是等比数列D 此数列不是等差数列，但可能是等比数列【答案】B【解析】 因为，所以该数列有可能是以首项和公比均为的等比数列； 又，所以该数列有可能是以首项为，公差为的等差数列，故选B.二、填空题41已知数列满足，则的值是_【答案】【解析】分析：设可得，数列是公比为的等比数列，从而可求得，利用分组求和，结合等比数列求和公式求解即可.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.42已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是 _。【答案】【解析】试题分析：依题意，设三角形的三边分别为a，aq，aq2，利用任意两边之和大于第三边即可求得q的取值范围点睛：本题考查等比数列的性质，考查解不等式组的能力，属于中档题解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.43与的等比中项为_.【答案】【解析】根据等比中项定义，所以，故填44在中，三内角所对的边分别是，若依次成等比数列，则的取值范围是_ 【答案】【解析】分析：根据条件及正弦定理，将问题转化为等比数列公比的范围的问题，结合三角形三边关系构造不等式可得结果详解：根据题意，设等比数列的公比为，则由题意得 点睛：本题难度较大，涉及的知识较多，解题时注意转化思想方法的灵活运用，首先从三角变换入手将所给式子化简，然后根据正弦定理得到三角形的边的比值，即为等比数列的公比最后根据三角形三边的关系构造出关于公比的不等式，通过解不等式可得所求范围45数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为_.【答案】【解析】令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以， ，实数的最小值为，故答案为.46数列的前项和，已知，且对任意正整数，都有，若对任意， 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立 ， 恒成立 .47若数列是等比数列，且，则_【答案】【解析】 , 48已知数列的前项和，则数列的通项公式_【答案】【解析】因为，所以当时， ，故对一切自然数， ，应填答案。49设为等比数列的前n项和， ,则的值为_【答案】【解析】由题设，则，故，应选答案。50一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂.【答案】243 或者 【解析】由题意可知,蜜蜂数为等比数列,第1天飞回3只, 第2天飞回9只, 所以第5天飞回=243只.填243.51设正数数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则_【答案】【解析】【分析】由和都是等差数列，且公差相等，把和都用和表示，联立求解和，即可求得结果.【详解】【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，意在考查学生的计算能力、转化与划归思想的运用，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 52有一个数阵排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8.2 4 6 8 10 12 14. 4 8 12 16 20. 8 16 24 32. 16 32 48 64. 32 64 96. 64 . 则第10行从左至右第10个数字为_.【答案】5120【解析】【分析】由数表可发现规律：第行第一个数为，第行组成以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得结果.【详解】【点睛】本题通过观察数表的规律，考查等差数列与等比数列的应用以及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.53设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为_【答案】【解析】分析：利用等差数列、等比数列的性质,可得方程=0,由此,即可得出结论.点睛：本题主要考查等差数列，等比数列的性质，考查了函数与方程的思想，属于中档题。54莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的倍，则最少的那份面包数是_【答案】【解析】分析：根据等差数列的前五项和为，且后三项和是前两项和的倍，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得详解：设份面包数按照从小到大的顺序排列分别为，它们组成以为公差的等差数列，则可得解得，即最少的那份面包数是，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数