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中国人民大学附属中学 5 1数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数都叫这个数列的项 记作an 在数列第一个位置的项叫第1项 在第二个位置的叫第2项 序号为n的项叫第n项 也叫通项 记作an 数列的一般形式 a1 a2 a3 an 简记作 an 2 通项公式的定义 如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示 那么这个公式就叫这个数列的通项公式 3 数列的函数特征与图象表示 序号 123456项 456789 例如 一个数列 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射 从函数观点看 数列实质上是定义域为正整数集n 或它的有限子集 的函数 当自变量从1开始依次取值时 对应的一系列函数值f 1 f 2 f 3 f n 通常用an来代替f n 其图象是一群孤立点 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分 有穷数列和无穷数列 按数列项与项之间的大小关系分 单调数列 递增数列 递减数列 常数列和摆动数列 5 递推公式定义 如果已知数列 an 的第1项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 例1根据下面各数列的前几项 写出数列的一个通项公式 1 3 5 9 17 33 2 3 2 6 12 20 30 42 1 an 2n 1 3 an 1 n 1n n 1 例2 数列 an 中 已知 1 写出a10 an 1 2 是否是数列中的项 若是 是第几项 2 为该数列的第15项 例3 一给定函数y f x 的图象在下列图中 并且对任意a1 0 1 由关系式an 1 f an 得到的数列满足an 1 an n n 则该函数的图象是 a 例4 若数列 an 的前项和sn n2 10n n 1 2 3 则此数列的通项公式为 数列 nan 中数值最小的项是第项 an 2n 11 3 例5 已知数列 an 的前n项和sn满足an 2snsn 1 0 n 2 a1 求an 例7 已知函数f x 2x 2 x 数列 an 满足f log2an 2n 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 an 是递减数列 例6 如图 一粒子在区域 x y x 0 y 0 上运动 在第一秒内它从原点运动到点b1 0 1 接着按图中箭头所示方向在x轴 y轴及其平行方向上运动 且每秒移动一个单位长度 1 设粒子从原点到达点an bn cn时 所经过的时间分别为an bn cn 试写出 an bn cn 的通项公式 2 求粒子从原点运动到点p 16 44 时所需的时间 3 粒子从原点开始运动 求经过2009秒后 它
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