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中国人民大学附属中学 7 7抛物线 2 抛物线的标准方程和性质 3 本节主要内容和要求 理解抛物线的定义 熟练掌握抛物线的四种标准方程和抛物线的简单几何性质 能运用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程 了解抛物线简单应用 进一步体会数形结合的数学思想 例1 已知抛物线顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点a 3 n 到焦点的距离为5 求抛物线的方程和n的值 例2 已知点a 2 8 b x1 y1 c x2 y2 在抛物线y2 2px上 abc的重心与此抛物线的焦点f重合 如图 i 写出该抛物线的方程和焦点f的坐标 ii 求线段bc中点m的坐标 iii 求bc所在直线的方程 解 i 由点a 2 8 在抛物线y2 2px上 有82 2p 2解得p 16 所以抛物线方程为y2 32x 焦点f的坐标为 8 0 ii 如图 由f 8 0 是 abc的重心 m是bc的中点 所以f是线段am的定比分点 设点m的坐标为 x0 y0 则 解得x0 11 y0 4 所以点m的坐标为 11 4 iii 由于线段bc的中点m不在x轴上 所以bc所在的直线不垂直于x轴 设bc所在直线的方程为 消x得 所以 由 ii 的结论得 解得k 4 因此bc所在直线的方程为y 4 4 x 11 即4x y 40 0 例3 已知抛物线c y2 4x的焦点为f 过点f的直线l与c相交于a b 1 若 求直线l的方程 2 求 ab 的最小值 例4 设点p x y x 0 为平面直角坐标系xoy中的一个动点 其中o为坐标原点 点p到定点m 0 的距离比点p到y轴的距离大 i 求点p的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 ii 若直线l与点p的轨迹 曲线部分 相交于a b两点 且 0 点o到直线l的距离为 求直线的方程 解 i 用定义法或直接法求得方程为y2 2x 表示以原点为顶点 对称轴为x轴 开口向右的一条抛物线 当直线l的斜率存在时 设直线的方程为y kx b k 0 b 0 联立y kx b与y2 2x 化简得ky2 2y 2b 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1y2 联立 解得k 1 b 2或k 1 b 2 所以直线l的方程为y x 2或y x 2 例5 如图 已知点f 1 0 直线l x 1 p为平面上的动点 过p作直线l的垂线 垂足为点q 且 求动点p的轨迹c的方程 过点f的直线交轨迹c于a b两点 交直线l于点m 已知 求的值 例6 抛物线y2 2px p 0 上有两动点a b及一个定点m f为焦点 若 af mf bf 成等差数列 i 求证 线段ab的垂直平分线过
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