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一道质检题的多种解法 下题是本地一道质检题，为原创题该题设计精巧，涉及多方面知识，有多种解法如图1，在四边形中，求和的长度 图1解法1：在中，由余弦定理得： ， ，由正弦定理可得：在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得： ， 点评：的长度可以直接用余弦定理求出求长度的关键是求出的余弦值，为和的和，易求为，用余弦定理可以求出的余弦值，再用平方关系求出的正弦值，后用两角和的余弦公式求出解法1涉及到等腰三角形的性质、正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、正弦和余弦的平方关系等重要知识，是一种通法，常规解法解法2：同解法1可得：，在和中，由余弦定理得： ， ， 在四边形中，又，式可以化简为：，求得： ， 点评：解法2推出和互补，它们的余弦值互为相反数，和有一条公共边，在和中分别用余弦定理表示出，得出和的关系式，再求出，解法2为了简化运算，求出这个整体的值发现和互补，利用它们的余弦值互为相反数和余弦定理构造方程是解法2的关键。解法3：同解法1可得：， ， 、四点共圆， 同解法1可得：， 在中，由正弦定理得： ， 点评：解法3的关键是证明、四点共圆，利用同弧上的圆周角相等推出，再利用两角和的正弦公式求出的值，后用正弦定理求出的长度四点共圆的判定证明在初中已不作要求，但在高中选修4-1已学过，是一个重要知识，要会用它来解决数学问题解法4：同解法3得：在中，由余弦定理得：，整理得：求得：或，又，故不合题意，舍去点评：同解法3，解法4的关键是证明、四点共圆，利用同弧上的圆周角相等推出.解法4直接用余弦定理求解，比解法3简单，但出现了两解，需检验舍去增解解法5：同解法1可得：， 同解法3可证：、四点共圆 由托勒密定理得： ， ， 求得：点评：解法5运用托勒密定理直接求解，非常简洁！
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