六年级下册数学广角——鸽巢问题.doc

人教版2011实验教科书六年级下册数学广角鸽巢问题教学设计学校：渝中区解放小学 姓名：朱丹 设计理念:“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”，也称为“鸽巢问题”。 “鸽巢问题”是学生从未接触过的新知识，难以理解“鸽巢问题”的真正含义，为什么平均分能保证“至少”的情况，学生难以理解。有时要找到实际问题与“鸽巢问题”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。在整节课的教学中，要通过让学生累积基本活动经验，发现例题中的规律，逐步推理，在变中发现不变，类比多个感性材料，逐步抽象概括出抽屉问题的模型，达到理解原理本真和基本思想的目的。 1年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生充分发表见解，发挥学生学习的主体性。 2思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于猜想-验证-应用这类问题研究只是初步涉及，尤其对于“数学证明”更是如此。因此，教师要创设情景，让学生自己去探究、去分析、去争论、去提炼，重在让学生经历知识的发生、发展的过程，要让学生“知其然”，更要“知其所以然”。 教学目标： 1让学生经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，发现规律，建立数学模型。渗透“建模”思想。 2.在学习的过程中，让学生经历从具体到抽象的探究过程，提高学生提出问题、解决问题的能力。培养学生初步养成类比、推理、抽象概括的能力。 3通过“鸽巢问题”的灵活应用，增强学生学习数学的兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。 教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，掌握“鸽巢问题”解题方法。 教学难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”，培养学生大胆质疑，初步尝试数学证明。 教学过程： 一、操作探究，发现规律。师：同学们，今天我们一起来学习数学广角“鸽巢问题。”生齐读课题。师：看了课题，你有什么疑问吗？生1：我想知道什么是“鸽巢问题”？生2：我想知道“鸽巢问题”有什么作用？师将学生的质疑提炼出两个大的问题：什么是“鸽巢问题”以及“鸽巢问题”有什么作用板书在黑板一侧。师:今天我们就一起来好好研究一下。（出示狄利克雷的图片以及“鸽巢问题”的简介。让学生感受数学的魅力。 （一）经历“鸽巢问题”的探究过程，理解“鸽巢问题”的第一种形式。 1自主猜想，初步感知（提出问题） 师：孩子们，那我们先来研究一个较简单的“鸽巢问题”的问题。 屏显：例1。把4枝铅笔放进3个文具盒中。不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。为什么？师：3个文具盒就是3个鸽巢，4枝是4个物体。孩子们，你们大胆猜想一下会是几枝呢？（板书：猜想。指名回答）搜集学生的答案：0枝、1枝、2枝、3枝和4枝等。师：究竟你们的猜想是否正确呢？我们得想点办法来验证一下。（板书：验证）题目先独立思考一下，能够自己想出验证办法的，待会上来汇报结果；实在自己想不出办法的，可以和附近的同学讨论、研究，记住要记录下你们的验证方法，待会上来汇报你们组的想法。2验证结论，汇报展示。请学生上台汇报，预计出现以下几种情况：（引导学生有序的表达：我的猜想是。我验证的方法是。）（1）枚举的方法学生演示四种情况：将4枝铅笔放进3个文具盒里，第一种可能是4枝都放进同一个文具盒里；第二种可能是3枝放进一个文具盒里，1枝放进另一个文具盒里；第三种是每个文具盒里各放2枝。这样，将4枝铅笔放进3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进了2枝铅笔。师：同学们看看，第一种方法中同一个文具盒里最多装几枝？第二种呢？（引导学生观察每种方法中同一个文具盒里最多可以装几枝铅笔）师：那么这样看来同一个文具盒里，至少放进了几枝铅笔？生：两枝。师：为什么不是其它的数量呢？（弄清这里的“至少”是指的一定会发生的情况中的最少的，是一定不少于的意思,可以是等于或大于）（2）数的分解 4 3 2 2 4 0 4 l 4 2 4 l 0 0 0 1 师：其实把枚举的过程用数的分解也可以表示。（3）假设法（反证法）如果每个鸽巢至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是3，而不是题设的3，故不可能。如果每个文具盒里只放进1枝铅笔，最多放进3枝。剩下的1枝还要放进其中的一个文具盒。所以至少有2支铅笔放进同一个文具盒。 当学生回答以后，教师要多请几个同学说一说这个假设的过程，训练学生的表达。然后再全班说一说，有助于让每个学生理解这种方法。3.优化方法。师：哪种方法比较好？引导学生认识枚举的局限性，假设法较好。从而得出结论：假如每个文具盒里只放进1枝铅笔，最多放进3枝。剩下的1枝还要放进其中的一个文具盒。所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。4.反思回顾。师：同你最开始的猜想相同吗？发现了什么？（引导学生明确要大胆猜想，细心验证，可以用枚举、假设等方法进行数学证明，把验证的过程想清楚、说明白。）5.在广泛的感性例子中进一步推理。（1）广泛例子的推理师：那么把6枝铅笔放进5个文具盒呢？8枝铅笔放进7个文具盒呢？将100枝铅笔放进99个文具盒呢？（屏显）生：都是至少有2枝铅笔在同一个文具盒里。师：你们是怎么想的？（引导学生较熟练的运用例1中的叙述表达清楚）4发现规律，认识原理师：说说你发现了什么规律？生：只要物体总数都比鸽巢数多，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有2个物体。师：为什么？生：如果每个文具盒放入1枝铅笔，由于铅笔的枝数比鸽巢数多1，都会剩下1枝，无论这1枝怎么放，都是至少有2枝铅笔在同一个文具盒里。（可以多请几个同学来说）师：我们先每个文具盒里放进1枝铅笔，其实是先在将书怎么分？生：平均分。师：为什么要这样分？生：只有平均分才能将书尽可能的分散，保证“至少”的情况。师：平均分可以怎样表示？生：除法。师：怎么表示？生：43=11 1+1=2（枝）师：两个1分别表示什么？2表示什么？生：2表示至少数。师：这些例子都是物体总数比鸽巢个数多1，如果是5枝铅笔放进3个鸽巢呢？16枝铅笔放进9个文具盒呢？要是物体总数比鸽巢个数几了？至少数又会是几呢？（发展学生类推的能力）生：无论多几，余数一定小于鸽巢个数。只要总数比鸽巢的数量多，这个结论都是成立的。因此都是用商加上1。从各个例子中得出：物体总数鸽巢个数=商余数 商+1=至少数（板书）学生在70页补充笔记（算式和公式）。6. 巩固练习。屏显：70页做一做。7只鸽子飞进5个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍？为什么？让学生进行独立思考，自主探究。将解题过程用铅笔写在数学书上。展示平台展示学生作业。让学生说清楚解题的思路。重点说一说余数不是1的时候，为什么同样也要用商+1的方法求至少数。 （二）进一步认识和理解“鸽巢问题”的第二种形式。1.引导学生反思、类比 ，引入“鸽巢问题”的另一种形式。师：“鸽巢问题”不难吧！可以解决所有这类题目了，对吧?（教师指着刚才的例子引导学生观察）是不是包括了所有可能的情况？生：比较特殊。正好都是总数是鸽巢个数的1倍多一些的情况。师:那么你觉得我们通常会遇到怎样的问题？（进一步一般化）生举出一些例子。例如：8本书放进3个鸽巢等等。教师抓住学生的回答，引导学生说一说与刚才的例子哪里不一样。学生会发现：不像刚才那样，正好都是总数是鸽巢个数的1倍多一些，而是几倍多一些。师：对了，我们就来研究“鸽巢问题”的另一种形式。 2推理探究，进一步归纳出“鸽巢问题”的第二种形式。 （1）屏显：71页的例2把5本书放进2个鸽巢中。不管怎么放，总有一个鸽巢至少放进（ ）本书。师：运用刚才老师教给你的方法，能不能自己进行数学证明？（指着板书）（2） 运用模型，进一步探究 a.完善例1 的结论结论：把5本书放进2个鸽巢中，不管怎么放，总有一个鸽巢至少放进3本书。允许学生运用数的分解、枚举、假设等方法。教师相机板书：52=21 21=3（本）师：如果是7本书呢？9本书呢？板书：72=31 3+1=4 (本)92=41 4+1=5 （本）引导学生像例1一样说一说思考过程。注意：由于例子中的余数是1，所以学生容易误认为是将商和余数加起来。b.补充商和余数都不为1的情况师：如果是将20本书放进3个鸽巢呢？26本书放进9个鸽巢呢？1000本书放进101个鸽巢呢？（屏显）重点让学生厘清：至少数的大小与余数的大小无关，始终都是商+1。 （3）汇报讨论结果，同时教师进行板书： 5 2=21 21=3（本）7 2=31 3+1=4 (本)9 2=41 4+1=5 （本） 203=62 61=7（本） 269=28 21=3（本）1000101=991 9+1=10（本）（5）反思，小结1.回顾例2的学习a.结果与你猜想的相同吗？如果错了，为什么猜错了？b.总有一个鸽巢至少放进的本数是“商1”还是“商余数”呢？为什么?关键让学生讨论：无论余数再大，不可能大于除数，也就是不可能等于或大于鸽巢的数量，那么根据最不利原则，把余数再一个一个分下去，总有一个鸽巢至少放进的本数是“商1”,不是“商余数”。2.类比、归纳引导学生对比：例1和例2有什么联系和区别？师：例1是例2的一种特殊形式。无论物体总数比鸽巢个数多多少，只要比它多，至少数都等于商加一。（6）建立解题模型师：“鸽巢问题”的解题方法是什么？生齐答：总数鸽巢个数=商余数 商+1=至少数师：现在我们通过猜想、验证，得出了“鸽巢问题”的解题模型，我们来试用一下。（板书：建模）3巩固练习（1）71页“做一做：”学生自读题目。 8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？ （2）学生独立完成解答。师巡视，展示学生作业。师：你是怎样想的？生：物体总数是8只，鸽巢问题是3个，83=22 2+1=3(只)师：首先要判断准确什么是物体总数，什么是鸽巢个数，再利用解题模型来正确解题。 三、“鸽巢问题”的推广应用（一）解决开课时的两个问题。1.学习“鸽巢问题”的必要性。师：数学家早在19世纪就提出了“鸽巢问题”，距离现在，时间已经很久远了。为什么我们现在还要学习这个知识呢？有必要吗？以后的学习中你就会发现：“鸽巢问题”不但是组合数学中的一个重要原理，而且“鸽巢问题”与我们零距离。屏幕出示：任请三位同学，其中至少有2位性别相同。从一副去掉两张王牌的扑克牌中任意抽出5张牌，至少有2张花色相同。师：你可以运用今天所学习的知识来解释了吗？生：3人是总数，男和女两种性别就相当于是2个抽屉，32=11 1+1=2（人）所以请来3人至少有2人性别相同。生：一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，抽出5张时，总数是5，四种花色相当于4个鸽巢，54=11 1+1=2（张）所以至少有2张是同种花色。（二）巩固练习。 师：我们看看“鸽巢问题”还可以应用于解决哪些问题？（屏显题目）1马家堡小学六年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。请问下面两人说的对吗？为什么？ （1）甲同学说：“六年级里至少有两人的生日是同一天。” （2）乙同学说：“六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。” 2.从电影院中任意找来13个观众，至少有两个人属相相同。是吗？ 3张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？ 4.拓展提高师：咱们见识一下更难的!（屏显出示经典习题）（1）“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”（2）从数1，2，3，.，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”（3）从1、2、3100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？ （4）有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。（5）篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？（6）在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8. 师：你有什么感受？“鸽巢问题”简单朴素，但是“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。我们只是初步的了解了一下，好学、善于钻研的同学可以通过网络、书籍，继续研究“鸽巢问题”。四、全课小结。 师：反思今天的学习，你有什么收获？生：学会了“鸽巢问题”。师：希望你在这节课里，不但学到了数学知识，还初步了解了数学证明的方法：遇到问题要