【成功新学案】高三数学一轮复习 2.4《函数的奇偶性与周期性》课件.ppt

第4课时函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 f x 存在一个最小 1 对任意实数x 下列函数中的奇函数是 a y 2x 3b y 3x2c y ln5xd y x cosx解析 若f x ln5x 则f x ln5 x ln 5x 1 ln5x f x 函数y ln5x为奇函数 答案 c 解析 答案 b 3 已知f x 在r上是奇函数 且满足f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 2011 a 2b 2c 98d 98解析 由f x 4 f x f x 的周期为4 f 2011 f 502 4 3 f 3 f 1 又f x 为奇函数 f 1 f 1 f 1 2 12 2 f 1 f 1 2 答案 a 答案 坐标原点 5 设f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x 2x 3 则f 2 答案 1 1 用定义判断 或证明 函数的奇偶性的一般步骤 1 验证定义域是否关于原点对称 若不关于原点对称 则为非奇非偶函数 2 证明f x f x 是否成立 若f x f x 则f x 为偶函数 若f x f x 则f x 为奇函数 解析 1 此函数的定义域为r f x x x 2 1 x x2 1 f x f x f x 即f x 是偶函数 2 此函数的定义域为x 0 由于定义域关于原点不对称 故f x 既不是奇函数也不是偶函数 解析 1 由于f 1 2 f 1 0 f 1 f 1 f 1 f 1 从而函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 f x 的定义域为 1 1 关于原点对称 又f 1 f 1 0 f 1 f 1 0 f x 既是奇函数又是偶函数 1 对抽象函数解不等式问题 应充分利用函数的单调性 将 f 脱掉 转化为我们会求的不等式 2 奇偶函数的不等式求解时 要注意到 奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性 解析 变式训练 2 1 奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 则不等式f x 0的解是 2 已知函数y f x 是r上的偶函数 且在 0 上是减函数 若f a f 2 则实数a的取值范围是 解析 1 由奇函数图象对称性质补出其在 5 0 上的图象 由图象知解集为 2 0 2 5 2 由已知f x 在 0 上为增函数 且f a f a f a f 2 f a f 2 a 2得a 2或a 2 答案 1 2 0 2 5 2 a 2或a 2 递推法 若f x 2 f x 则f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 周期t 4 换元法 若f x 2 f x 2 令x 2 t x t 2 f t f t 4 周期t 4 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2011 解析 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2011 0 变式训练 3 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2008 f 2009 的值为 a 2b 1c 1d 2解析 f x 是偶函数 f 2008 f 2008 f x 在x 0时f x 2 f x f x 的周期为2 f 2008 f 2009 f 2008 f 2009 f 0 f 1 log21 log22 0 1 1 答案 c 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 2 奇偶函数的性质 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 反之亦真 因此 也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性 2 奇 奇 奇 偶 偶 偶 3 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 4 函数y f x 当x 0时有意义 则f 0 0为y f x 是奇函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性 一般有三种方法 定义法 图象法 性质法 通过对近三年高考试题的统计分析 可以看出以下的命题规律 1 考查热点 函数的奇偶性 周期性是高考命题的热点 2 考查形式 多为选择题和填空题 整个命题过程着眼基础 突出重点 3 考查角度 一是对函数奇偶性的考查 主要涉及函数奇偶性的判断 利用奇偶性函数图象的特点解决相关问题 利用函数的奇偶性求函数值 参数值等 二是对函数周期性的考查 主要涉及判断函数的周期 利用函数的周期性求函数值 以及解决与周期有关的函数综合问题 2010 全国新课标卷 设偶函数f x 满足f x 2x 4 x 0 则 x f x 2 0 a x x 2或x 4 b x x 0或x 4 c x x 0或x 6 d x x 2或x 2 解析 f x 2x 4 x 0 令f x 0 得x 2 又f x 为偶函数且f x 2 0 f x 2 0 x 2 2 解得x 4或x 0 x x 0或x 4 答案 b 阅后报告 本题考查了分段函数求值问题 解答本题的难点是不理解f f 0 的意义 不知f 0 是对外层f来说相当于x 考生试求f f 1 的值 1 2010 广东卷 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数解析 f x 3x 3 x f x 3 x 3x f x f x 即f x 是偶函数 又 g x 3x 3 x g x 3 x 3x g x g x 即函数g x 是奇函数 答案 b 2 2010 山东卷 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 a 3b 1c 1d 3解析 因为f x 是定义在r上的奇函数 因此f x f x 0 当x 0时 可得f 0 0 可得b 1 此时f x 2x 2x 1 因此f 1 3 又f 1 f 1 所以f 1 3 答案 d 3 2010 安徽卷 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 a 1b 1c 2d 2解析 函数f x 的周期为5 f x 5 f x f 3 f 2 5 f 2 又 f x 为奇函数 f 3 f 2 f 2 2 同理