(高年级 老师用)第六讲：还原问题.doc

品淘奥数（高年段 老师用）第六讲：还原问题专题简析：在数学学习中，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。小试牛刀1、有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？分析与解答：这个问题是由（446）3104，求出。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是41014；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14342；可知这个数乘以4后的积为424688，因此这个数是884=22。即：（410）346422。2、小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？分析与解答：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。即：123-450169。3、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？分析与解答：由逆推法知，第二次用完还剩下157=22（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（243）254（米）。即：（15710）23254（米）。4、某数加上7，减去6，乘以5，除以4，其结果等于40，这个数是多少？分析与解答：分析同上题。即4045+6-7=319。5、丽丽今年9岁，当她问爷爷今年多少岁时，爷爷风趣地说：“把我的岁数加上5再乘以3，然后缩小10倍再减去12，正好与你的岁数相同。”丽丽的爷爷今年多少岁？分析与解答：分析同上题。即（9+12）103-5=65(岁)。挑战自我1、学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？分析与解答：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有181028（棵）。即：365（12）2-610=28（棵）。2、甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？分析与解答：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有30333（本），乙组有303532（本），丙组有30525（本）。3、某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？分析与解答：利用问题还原法，由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元），余下的钱（余下一半钱的2倍）是：13502=2700（元）。用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：（1250+100）2+502=5500（元）4、某粮库有面粉若干袋，第一次卖掉原有的一半少12袋，第二次卖出剩下的一半多10袋，第三次又卖出48袋，这时还剩28袋。求粮库中原有面粉多少袋？分析与解答：(48+28+10)2122=320袋。5、刘经理领回当月工资后，留下一半作为生活费，拿出350元准备付水电费，又拿出剩下的一半存入银行，这时又拿出20元买了一些水果带回家，最后还剩480元。刘经理这个月的工资是多少元？分析与解答：分析同上。即 （480+20）2+3502=2700（元）。智慧一加一1、有甲、乙两筐桔子，只数不等。先从甲筐里拿出一些桔子放到乙筐里，使乙筐里的桔子数增加一倍；再从乙筐里拿出一些桔子放到甲筐里，使甲筐里的桔子数也增加一倍。这时甲、乙两筐里都有60只桔子。原来甲、乙两筐里各有多少只桔子？分析与解答：现在甲、乙两筐里都有60只橘子，由于之前的交换使甲的桔子数目增加了一倍，所以之前甲是30，乙是90；又由于之前的交换使得乙的桔子数目增加了一倍，所以之前乙是45，甲是75。2、三堆苹果共有48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这里这一堆个数相等的草果并入第一堆。这里，三堆草果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？分析与解答：由题意知，最后每堆草果都是483=16（个），由此向前逆推如下表：第一堆第二堆第三堆初始状态8+14=22282=1412第一次变化后816+12=28242=12第二次变化后162=81616+8=24第三次变化后161616原来第一、二、三堆依次有22、14、12个苹果。逆推时注意，每次变化中，有一堆未动，有一堆增加了一倍，逆推时应除以2。另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。3、兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？分析与解答：由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有2438（个）桔子。由此列表逆推如下表：由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半。 4、村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个?分析与解答：从上面线段图可以看出： 最后剩下2个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是(2+2)2=8(个)。 8个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(8+2)2=20(个)。20个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是： (20+2)2=44(个) 。5、甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？分析与解答：三人最后一样