高三数学高考应考宝典三：课本回扣篇平面向量课件.ppt

1 向量有关概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量 向量常用有向线段来表示 注意不能说向量就是有向线段 2 零向量 长度为0的向量叫零向量 记作0 注意零向量的方向是任意的 3 单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是 4 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 第6讲平面向量 5 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量a b叫做平行向量 记作a b 规定零向量和任何向量平行 提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性 因为有0 三点a b c共线共线 6 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 a的相反向量是 a 如下列命题 若 a b 则a b 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点相同 若 则abcd是平行四边形 若abcd是平行四边形 则 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 其中正确的是 2 向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如a b c等 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j为基底 则平面内的任一向量a可表示为a xi yj x y 称 x y 为向量a的坐标 a x y 叫做向量a的坐标表示 如果向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 3 平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一向量a 有且只有一对实数1 2 使a 1e1 2e2 如 1 若a 1 1 b 1 1 c 1 2 则c 用a b表示 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 a e1 0 0 e2 1 2 b e1 c e1 3 5 e2 6 10 d e1 2 3 e2 3 已知分别是 abc的边bc ac上的中线 且 a b 则bc可用向量a b表示为 1 2 e2 5 7 b 4 已知 abc中 点d在bc边上 且则r s的值是 4 实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量 记作a 它的长度和方向规定如下 1 a a 2 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 注意 a 0 5 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角 对于非零向量a b 作 b aob 0 称为向量a b的夹角 当 0时 a b同向 当 时 a b反向 当时 a b垂直 0 2 平面向量的数量积如果两个非零向量a b 它们的夹角为 我们把数量 a b cos叫做a与b的数量积 或内积或点积 记作a b 即a b a b cos 规定 零向量与任一向量的数量积是0 注意数量积是一个实数 不再是一个向量 如 abc中 则 已知a b c a kb d a b c与d的夹角为则k 已知 a 2 b 5 a b 3 则 a b 9 1 b在a上的投影为 b cos 它是一个实数 但不一定大于0 如已知 a 3 b 5 且a b 12 则向量a在向量b上的投影为 3 a b的几何意义 数量积a b等于a的模 a 与b在a上的投影的积 4 向量数量积的性质 设两个非零向量a b 其夹角为 则 a b a b 0 当a b同向时 a b a b 特别地 a 2 a 当a与b反向时a b a b 当为锐角时 a b 0 且a b不同向 a b 0是为锐角的必要非充分条件 当为钝角时 a b 0 a2 a a 且a b不反向 a b 0是为钝角的必要非充分条件 非零向量a b夹角的计算公式 a b a b 如 已知a 2 b 3 2 如果a与b的夹角为锐角 则的取值范围是 ii 已知 ofq的面积为s 且则夹角的取值范围是 6 向量的运算 1 几何运算向量加法 利用 平行四边形法则 进行 但 平行四边形法则 只适用于不共线的向量 除此之外 向量加法还可以利用 三角形法则 设a b 那么向量叫做a与b的和 即a b 向量的减法 用 三角形法则 设a 那么a b 由减向量的终点指向被减向量的终点 注意 此处减向量与被减向量的起点相同 如 化简 b 0 若正方形abcd的边长为1 a b 则 a b c 若o是 abc所在平面内一点 且满足则 abc的形状为 2 坐标运算 设a x1 y1 b x2 y2 则 向量的加减法运算 a b x1 x2 y1 y2 如 1 已知点a 2 3 b 5 4 c 7 10 若则当 时 点p在第一 三象限的角平分线上 实数与向量的积 a x1 y1 x1 y1 若a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向 c 直角三角形 线段的终点坐标减去起点坐标 如设a 2 3 b 1 5 且则c d的坐标分别是 平面向量数量积 a b x1x2 y1y2 向量的模 a a2 a 2 x2 y2 如已知a b均为单位向量 它们的夹角为60 那么 两点间的距离 若a x1 y1 b x2 y2 则 a 3b ab 7 向量的运算律 1 交换律 a b b a a a a b b a 2 结合律 a b c a b c a b c a a b a b a b 3 分配律 a a a a b a b a b c a c b c 如下列命题中 a b c a b a c a b c a b c a b 2 a 2 2 a b b 2 若a b 0 则a 0或b 0 若a b c b 则a c a 2 a2 a b 2 a2 b2 a b 2 a2 2a b b2 其中正确的是 b c 8 向量平行 共线 的充要条件 a b a b a b 2 a b 2 x1y2 y1x2 0 如 1 若向量a x 1 b 4 x 当x 时a与b共线且方向相同 2 已知a 1 1 b 4 x u a 2b v 2a b 且u v 则x 3 设 k 12 4 5 10 k 则k 时 a b c共线 2或11 2 4 9 向量垂直的充要条件a b a b 0 a b a b x1x2 y1y2 0 特别地如 1 已知 1 2 3 m 若则m 2 以原点o和a 4 2 为两个顶点作等腰直角三角形oab b 90 则点b的坐标是 1 3 或 3 1 10 向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 a b a b a b 特别地 当a b同向或有0 a b a b a b a b 当a b反向或有0 a b a b a b a b 当a b不共线 a b a b a b 这些和实数比较类似 3 在 abc中 若a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 则其重心的坐标为如若 abc的三边的中点分别为 2 1 3 4 1 1 则 abc的重心的坐标为 为 abc的重心 特别地0p为 abc的重心 为 abc的垂心 向量所在直线过 abc的内心 是 bac的角平分线所在直线 0 p是 abc的内心 4 向量中三终点a b c共线存在实数 使得且如平面直角坐标系中 o为坐标原点 已知两点a 3 1 b 1 3 若点c满足其中1 2 r且1 2 1 则点c的轨迹是 直线ab 1 2009 德州模拟 对于向量a b c和实数 下列命题中真命题是 a 若a b 0 则a 0或b 0b 若a 0 则 0或a 0c 若a2 b2 则a b或a bd 若a b a c 则b c解析a 若a b 0 则a与b可以垂直 所以a不正确 b 由于a 0 则必有 0或a 0 故选b b 2 2009 广东文 3 已知平面向量a b x x2 则向量a b a 平行于y轴b 平行于第一 三象限的角平分线c 平行于x轴d 平行于第二 四象限的角平分线解析 a x 1 b x x2 a b 0 x2 1 由1 x2 0及向量的性质知a正确 x 1 a 3 2009 北京文 2 已知向量c ka b k r d a b 如果c d 那么 a k 1且c与d同向b k 1且c与d反向c k 1且c与d同向d k 1且c与d反向解析 c d c d 即ka b a b 又a b不共线 a 1 0 b 0 1 c d c与d反向 d 4 已知a b c是平面上不共线的三点 o是 abc的重心 动点p满足则点p一定为 abc的 a ab边中线的中点b ab边中线的三等分点c 重心d ab边的中点解析取ab的中点m o是 abc的重心 o在cm上 且 点p是ab边中线的三等分点 非重心 故选b b 5 设a b为两个非零平面向量 a x1 y1 b x2 y2 则对于以下命题中与a b等价的命题的个数是 a b 0 x1x2 y1y2 0 a b a b a2 b2 a b 2 a 1b 2c 3d 4解析 均为a b的充要条件 由 a b a b 得 a b 2 a b 2可化为a b 0 则可知a b 由a2 b2 a b 2得a2 b2 a2 b2 2a b可化为a b 0 则可知a b 所以选d d 6 已知a 1 0 b 0 1 若向量c m n 满足 a c b c 0 则点 m n 到直线x y 1 0的距离的最小值等于 a b 1c d 解析将c m n 代入 a c b c 0得 m 1 m n 1 n 0它表示以为圆心 为半径的圆 c 圆心到直线x y 1 0的距离d 点 m n 到直线x y 1 0的距离的最小值为d 7 2009 辽宁文 13 在平面直角坐标系xoy中 四边形abcd的边ab dc ad bc 已知a 2 0 b 6 8 c 8 6 则d点的坐标为 解析设d点的坐标为 x y 由题意知即 2 1 x 2 y 所以x 0 y 2 d 0 2 0 2 8 已知平面向量a 2 4 b 1 2 若c a 则 c 解析 a 2 4 b 1 2 a b 2 8 6 a a b b 2 4 6 12 8 8 c 9 2009 南京模拟 已知点c在线段ab上 且 aoc 60 则的值是 解析 oa ob a b b 建系如右图的平面直角坐标系 答案4 10 如图 在三角形abc中 已知ab a