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中国人民大学附属中学 5 6数列的综合应用 二 例1在等差数列 an 中 前n项的和为sn 前m项的和为sm 其中m n 则sm n的值 a 大于4 b 等于4 c 小于4 d 大于2且小于4 a 例2等比数列 an 中 an 0 且a1 a2 a3 a4n a a1a2a3 a4n b 则 a b c d b 例3在公差不为零的等差数列 an 和等比数列 bn 中 已知a1 b1 1 a2 b2 a6 b3 求 an 的公差和 bn 公比 是否存在常数a b 使得对于一切自然数n都有an logabn b成立 若存在 求出a b来 若不存在 说明理由 解 设公差为d 公比为q 则 假设存在常数a b使得对于一切自然数n都有an logabn b an 3n 2 bn 4n 1 即 3 loga4 n loga4 b 2 0成立 所以 例4 已知二次函数y f x 的图像经过坐标原点 其导函数为f x 6x 2 数列 an 的前n项和为sn 点 n sn 均在函数y f x 的图像上 求数列 an 的通项公式 设 tn是数列 bn 的前n项和 求使得对所有n n 都成立的最小正整数m 例5 数列 an 的前n项和记为sn a1 1 an 1 2sn 1 n 1 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前n项和为tn 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3成等比数列 求tn 解 1 由an 1 2sn 1 可得an 2sn n 2 两式相减得an 1 an 2an an 1 3an n 2 又a2 2s1 1 3 a2 3a1 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 2 设 bn 的公差为d 由t3 15 b1 b2 b3 15 可得b2 5 故可设b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3 2 解得d1 2 d2 10 等差数列 bn 的各项为正 d 0 d 2 b1 3 tn n2 2n 解 1 当n 2时 cn an bn an 1 bn 1 2 cn cn 1 2 即cn cn
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