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第五章 平面向量 5 1向量的概念及其几何运算 第二课时 题型3共线向量与三点共线问题 1 在平行四边形abcd中 m是ab的中点 n在bd上 且试推断m n c三点是否共线 并说明理由 解 因为所以所以向量与共线 故m n c三点共线 点评 用向量法证明几何中的平行或共线问题 就是用向量表示图中的有关线段 利用向量的相等得到线线平行或多点共线 如本题中的三点共线 即从这三点中任取两点构成向量 然后看这两个向量是否是共线向量 2 如图 三角形abc中 点m是bc的中点 点n在边ac上 am与bn相交于点p 设 e1 e2 试用e1 e2表示 解 因为 e1 e2 则又所以 题型4平面向量基本定理的应用 又设则由得所以解得所以点评 本题向量比较多 一般取不共线的两向量作为基本向量 其他向量都往这两个向量转化 如本题中尽量往 abc的边所在向量上转化 转化的策略是利用加减法运算合并向量或分解向量 在平行四边形abcd中 m n分别是cd bc的中点 设试以a b为基底表示向量和 解 由图知 所以解得 拓展练习 3 o是平面内一定点 a b c是平面内不共线的三个点 动点p满足 0 则点p的轨迹一定通过 abc的 a 外心b 内心c 重心d 垂心 题型5向量的几何运算 解 由已知得因为与是单位向量 所以是以这两个单位向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量 从而点p在 bac的平分线上 故选b 点评 有关向量的几何运算 是数形结合的一个方面 正确理解运算法则是基础 掌握运算规律是重点 而综合应用则是考点 难点与关键 o是平面abc内一点 且则三角形abc一定是 a 直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形d 斜三角形解 由而可得即有所以三角形abc是等腰三角形 故选b 1 关于实数与向量的积 1 向量本身具有 形 和 数 的双重特点 而在实数与向量的积的运算过程中既要考虑模的大小 又要考虑方向 因此它是数形结合思想的具体运用 这点提示我们解题时不要脱离了向量的几何意义 2 对任意非零向量a 是一个单位向量 3 设 x y r 则p a b三点共线的充要条件是x y 1 2 向量是一个几何量 是有 形 的量 因此
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