【绿色通道】高考数学总复习 95数学归纳法课件 新人教A版.ppt

1 由一系列有限的得出的推理方法 通常叫做归纳法 2 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性 先证明当n取第1个值n0时 命题成立 然后假设当n k k n k n0 时 命题成立 证明当n k 1时 命题也成立 这种证明方法叫做 特殊事例 一般结论 数学归纳法 3 用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题时 其步骤为 1 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 假设n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题成立 3 归纳结论 由 1 2 得出结论 归纳奠基 归纳递推 1 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验n等于 a 1b 2c 3d 0 解析 边数最小的凸多边形是三角形 答案 c 解析 n k 1时 左端为 k 2 k 3 k 1 k 1 k 1 k 2k 2 k 1 k 2 k k 2k 1 2 应增乘2 2k 1 答案 b 3 用数学归纳法证明 n3 5n能被6整除 的过程中 当n k 1时 对式子 k 1 3 5 k 1 应变形为 解析 由n k成立推证n k 1成立时必须用上归纳假设 k 1 3 5 k 1 k3 5k 3k k 1 6 答案 k3 5k 3k k 1 6 4 记凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 解析 由凸k边形变为凸k 1边形时 增加了一个三角形 故f k 1 f k 答案 5 对于n n 用数学归纳法证明 1 n 2 n 1 3 n 2 n 1 2 n 1 n n 1 n 2 思路分析 按数学归纳法的证明步骤 例2 已知函数f x x sinx 数列 an 满足 0 a1 1 an 1 f an n 1 2 3 证明 0 an 1 an 1 思路分析 要证的不等式与自然数n有关 故可用数学归纳法证明 解 先证00 0 x 1 函数f x 在 0 1 上递增 由0 ak 1知 f 0 f ak f 1 又ak 1 f ak 0 sin0 ak 1 1 sin1 1 0 ak 1 1 n k 1时 不等式成立 又 0 an 1时 an 1 an f an an an sinan an sinan 0 an 1 an 综上所述0 an 1 an 1 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立得n k 1成立 主要方法有 放缩法 利用基本不等式法 作差比较法等 例3 是否存在正整数m 使得f n 2n 7 3n 9对任意自然数n都能被m整除 若存在 求出最大的m的值 并证明你的结论 若不存在说明理由 解 由f n 2n 7 3n 9得 f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想 m 36 下面用数学归纳证明 1 当n 1时 显然成立 2 假设n k时 f k 能被36整除 即f k 2k 7 3k 9能被36整除 当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 1 2 可知对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 m的最大值为36 本题解决的关键是通过n的取特殊值猜想这样的正整数m存在 然后利用数学归纳法加以证明 用数学归纳推证n k 1成立时 关键是掌握加一个数与减一个数的恒等式变形 将n k 1的形式用n k时的形式表示 变式迁移3试证 当n n 时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 证法一 1 当n 1时 f 1 64 命题显然成立 2 假设当n k k n k 1 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 当n k 1时 由于32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即f k 1 9f k 64 k 1 n k 1时命题也成立 根据 1 2 可知 对于任意n n 命题都成立 证法二 1 当n 1时 f 1 64命题显然成立 2 假设当n k k n k 1 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 由归纳假设 设32k 2 8k 9 64m m为大于1的自然数 将32k 2 64m 8k 9代入到f k 1 中得f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 n k 1时命题也成立 根据 1 2 知 对于任意n n 命题都成立 变式迁移4设数列 an 的前n项和为sn 且方程x2 anx an 0有一个根是sn 1 n 1 2 3 1 求a1 a2 2 求 an 的通项公式 下面用数学归纳法证明这个结论 n 1时已知结论成立 数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法 应用时应注意以下三点 1 验证是基础数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 2 递推乃关键数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题 在推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 3 寻找递推关系 1 在第一步验证时 不妨多计算几次 并争取正确写出来 这样对发现递推关系是有帮助的 2 探求数列通项公式是善于观察式子的变化规律 观察n处在哪个位置