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第一章 集合 常用逻辑用语 简单的逻辑联结词 第4讲 复合命题的构成及真假判断 点评 真值表是对复合命题进行真假判断的依据 变式练习1 用 或 且 非 填空 使命题正确 1 4 4 是 40 则a 0 b 0 a 0 b 0 全称命题与存在性命题的否定 答案 点评 要正确写出全称命题与存在性命题的否定 首先应注意全称量词 存在量词是什么 然后再进行否定 变式练习2 写出命题 能被8整除的数能被4整除 的否定和否命题 并判断真假 解析 能被8整除的数能被4整除 显然这是一个全称命题 故它的否定为 存在一个能被8整除的数 但它不能被4整除 此命题是假命题 它的否命题为 不能被8整除的数也不能被4整除 此命题亦为假命题 复合命题的真假性的综合应用 例3 命题p 方程x2 mx 1 0有两个不等的负实数根 命题q 方程4x2 4 m 2 x 1 0无实根 若 p或q 为真命题 p且q 为假命题 求实数m的取值范围 点评 解此类题的一般步骤是先化简所给命题 再根据复合命题的真值表分类讨论 变式练习3 已知命题p 存在一个实数x 使ax2 2x 1 0 当a a时 非p是真命题 求集合a 解析 容易判断p真 q假 由复合命题的真值表可知p或q 非q是真命题 p或q 非q 充分不必要 3 已知命题p x r sinx 1 则p 1 简单命题分条件和结论两部分 复合命题是由简单命题通过 或 且 非 构成的 由简单命题的真假可以判断复合命题的真假 反之 由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假 如p真 q假 则 p或q 真 p且q 假 非p 假 反之 若 p或q 真 则p q至少有一个真 2 或 且 非 这三个逻辑联结词构成了命题间的运算 它们分别对应着真值集合 并 交 补 因此 逻辑联结词的运算可以用集合的运算来描述 3 在命题关系中 特别要区分命题的否定与否命题 命题的否定总是与原命题的真假性相对立 是保留条件 否定结论 否命题是否定原命题的条件仍作条件 且否定原命题的结论仍作结论 它与原命题的真假没有必然的联系 如命题p 已知a b为实数 若 a b 0 则a b 否命题为 已知a b为实数 若 a b 0 则a b 命题的否定为 已知a b为实数 若 a b 0 则a b 四种命题中 原命题与逆否命题同真假 是等价命题 逆命题与否命题同真假 也是等价命题 4 含有一个量词 全称量词或存在性量词 的命题的否定 一是要改写量词 全称量词改写为存在量词 存在量词改写为全称量词 二是要否定结论 如 x r x2 0 的否定是 x r x2 0 答案 x r x2 1 0选题感悟 全称命题 存在性命题的否定是新课标新增内容 通常以填空题的形式出现 答案 1 a 3选题感悟 一个命题是假命题 则其否定是真命题 将含有一个量词的命题的否定和命题真值性判断综合
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