高三数学一轮复习 曲线与方程课件 理 新人教B版.ppt

重点难点重点 曲线与方程的概念及求曲线方程的步骤难点 曲线的方程与方程的曲线概念的理解知识归纳1 曲线方程的定义在直角坐标系中 如果曲线c 看作适合某条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线c上 那么这个方程叫做曲线c的方程 这条曲线叫做方程的曲线 2 求曲线方程的基本步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 3 由方程画曲线的步骤 讨论曲线的对称性 关于x轴 y轴和原点 求曲线在两轴上的截距 讨论曲线的范围 列表 描点 画线 4 交点与曲线系方程求两曲线的交点 就是求这两条曲线方程组成的方程组的解 过曲线f1 x y 0和f2 x y 0的交点的曲线系方程是f1 x y f2 x y 0 r 5 常见的轨迹 1 在平面内 到两定点距离相等的点的轨迹是 2 平面内到角两边距离相等的点的轨迹是 3 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 4 平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与 连结两定点的线段的垂直平分线 这个角的平分线 以定点为圆心 以定长为半径的圆 这条直线平行的两条直线 5 平面内到两定点f1 f2距离之和为定值2a 2a f1f2 的点的轨迹是 6 平面内到两定点f1 f2距离差的绝对值为定值2a 0 2a f1f2 的点的轨迹是 7 平面内到定点和定直线距离相等 定点不在定直线上 的点的轨迹是 以两定点为焦点 2a为长轴长的椭圆 以两定点为焦点 实轴长为2a的双曲线 以定点为焦点 定直线为准线的抛物线 误区警示1 求曲线的方程注意以下三个问题 1 要适当建立坐标系 坐标系建得适当 可使运算过程简单 所得的方程也比较简单 否则会大大增加运算量 在实际解题过程中 应充分利用图形的几何特性 如中心对称图形 可利用它的对称中心作为坐标原点 轴对称图形 可以利用它的对称轴为坐标轴 条件中有直角 可考虑将两直角边作为坐标轴等等 2 根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环 应认真分析题设条件 综合利用平面几何的知识 列出几何等式 再利用解析几何的一些概念 公式 定理等将几何等式坐标化 便得曲线的方程 还要将所得方程化简 使求得的方程是最简单的形式 2 在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解的错误 为此解题时应注意以下三点 注意动点应满足的某些隐含条件 注意方程变形是否同解 注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论 3 轨迹问题还应区别是 求轨迹 还是 求轨迹方程 一般说来 若是 求轨迹方程 求到方程就可以了 若是 求轨迹 求到方程还不够 还应指出方程所表示的曲线的类型 有时候 问题仅要求指出轨迹的形状 如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线 则可不求轨迹方程 一 求轨迹的常用方法 1 直译法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 易于表达成含x y的等式得到轨迹方程 这种方法称之为直译法 用直译法求动点轨迹的方程一般有建系 设点 列式 代入 化简 证明五个步骤 但最后的证明可以省略 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 代入法 形成轨迹的动点p x y 随另一动点q x y 的运动而有规律的运动 且动点q的轨迹为给定或容易求得 则可先将x y 用x y表示 再代入q的轨迹方程 然后整理得点p的轨迹方程 代入法也称相关点法 4 参数法 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借助中间变量 参数 使x y之间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 5 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然后消去参数得到轨迹方程 二 加强知识交汇的训练向量 三角函数 不等式与解析几何交汇 特别是向量进入解析几何已成为新的命题热点 应加强这种融合多处知识 而又比较浅显 考查对学科最基础知识和最基本方法的掌握的小题训练 分析 a b 0 a 0或b 0 但要保证其有意义 本题中限制条件为根号下的被开方数x y 1 0 答案 c 答案 b 例2 已知直线l 1 m是直线l上的一个动点 过点m作x轴和y轴的垂线 垂足分别为a b 点p是线段ab的靠近点a的一个三等分点 求点p的轨迹方程 分析 m是直线l上的动点 m的运动引起点p的运动 设m x0 y0 p x y 只要用x y表示x0 y0 即可将点m坐标代入l的方程获解 点评 用代入法求曲线方程的步骤是 1 分别设从动点为 x y 主动点为 x0 y0 2 用x y表示x0 y0 3 将x0 y0代入已知方程 化简即得所求轨迹方程 过定点a a b 任作互相垂直的两直线l1与l2 且l1与x轴交于m点 l2与y轴交于n点 则线段mn中点p的轨迹方程为 分析 题中给出了3个条件a a b l1 l2 点m 点n 从不同的角度去分析三个条件之间的联系 将有不同的解法 答案 2ax 2by a2 b2 0 例3 2010 北京 在平面直角坐标系xoy中 点b与点a 1 1 关于原点o对称 p是动点 且直线ap与bp的斜率之积等于 1 求动点p的轨迹方程 2 设直线ap与bp分别与直线x 3交于点m n 问 是否存在点p使得 pab与 pmn的面积相等 若存在 求出点p的坐标 若不存在 说明理由 分析 1 直接将坐标代入 依据 直线ap与bp的斜率之积等于 列出等式 化简即得点p的轨迹方程 2 假设满足题设条件的点存在 则由s pab s pmn可得 pa pb pm pn 的关系式 设出p点坐标代入解方程 若有解 则存在点p 否则不存在 2010 四川 已知定点a 1 0 f 2 0 定直线l x 不在x轴上的动点p到点f的距离是它到直线l的距离的2倍 设点p的轨迹为e 过点f的直线交e于b c两点 直线ab ac分别交l于点m n 1 求e的方程 2 试判断以线段mn为直径的圆是否过点f 并说明理由 例4 已知椭圆的焦点是f1 f2 p是椭圆的一个动点 如果m是线段f1p的中点 则动点m的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线的一支d 抛物线 答案 b 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点m在棱ab上 且am 点p是平面abcd上的动点 且动点p到直线a1d1的距离与点p到点m的距离的平方差为1 则动点p的轨迹是 a 圆b 抛物线c 双曲线d 直线 解析 由p向ad作垂线垂足为n 由题意知 pn 2 1 pm 2 1 pn pm 即动点p到直线ad的距离等于动点p到点m的距离 点p的轨迹是抛物线 答案 b 如图 设点a和b为抛物线y2 4px p 0 上除原点以外的两个动点 已知oa ob om ab 则点m的轨迹方程为 答案 x2 y2 4px 0点评 注意挖掘图形的几何性质联想有关定义 多角度 全方位分析 常能简化运算 起到事半功倍的效果 一 选择题1 已知椭圆的焦点为f1 f2 p是椭圆上一个动点 延长f1p到点q 使 pq pf2 则动点q的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线一支d 抛物线 答案 a 解析 qf1 pf1 pq pf1 pf2 2a 动点q的轨迹是以f1为圆心 2a为半径的圆 答案 c 答案 d 4 2010 山东东营质检 已知椭圆x2 2y2 4 0 则以m 1 1 为中点的弦所在的直线方程是 a x 2y 3 0b 2x y 3 0c x 2y 3 0d 2x y 3 0 答案 a 解析 由过点 1 1 排除c d 由椭圆焦点在x轴上 m在椭圆内 位于第一象限知 弦所在直线斜率大于 1 排除b 故选a 点评 可设出直线y 1 k x 1 与椭圆两交点e x1 y1 f x2 y2 用点差法直接求解 但过程较繁 请同学们认真完成课后强化作业 1 2010 华北师大附中模考