高考数学第一轮总复习 35数列的综合应用经典实用学案（PPT） 新人教版.ppt

基础知识一 等差 等比数列的综合问题 1 若 an 是等差数列 则数列 can c 0 c 1 为数列 2 若 an 为正项等比数列 则数列 logcan c 0 c 1 为数列 3 若 an 既是等差数列又是等比数列 则数列 an 为 等比 等差 常数列 二 与银行利率相关的几类模型1 银行储蓄单利公式利息按单利计算 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y 2 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y 3 产值模型原来产值的基础数为n 平均增长率为p 对于时间x的总产值y a xar a 1 xr a 1 r x n 1 p x 4 分期付款模型a为贷款总额 r为月利率 b为月等额本息还款数 n为贷款月数 则b 易错知识一 审题错误 1 已知 an 是递增数列 且对任意x n 都有an n2 n恒成立 则实数 的取值范围是 a b 0 c 2 d 3 答案 d 解题思路 an 是递增数列 an 1 an 即 n 1 2 n 1 n2 n 2n 1对于n n 恒成立 而 2n 1在n 1时取得最大值 3 3 故选d 错因分析 数列是特殊的函数 可以用动态函数的观点研究数列 但必须时刻注意其 特殊 性 即 定义域为n n 本题常出现如下错误 错解 an n2 n n 对称轴n 当n 1时为递增数列 则从而得 2 故选c 二 实际应用错误 2 假设某市2004年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到另一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2004年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 解析 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 到2013年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n 6 到2009年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 回归教材1 教材p1146题改编 夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0 7 已知山顶气温是14 1 山脚的气温是26 那么此山相对于山脚的高度是 a 1500米b 1600米c 1700米d 1800米解析 因a1 26 an 14 1 d 0 7 an a1 n 1 d 14 1 26 n 1 0 7 n 18 其高度为 18 1 100 1700 答案 c 2 教材p1253题改编 某种细菌在培养过程中 每20分钟分裂一次 一个分裂成两个 经过3小时 这种细菌由1个可繁殖成 a 511个b 512个c 1023个d 1024个解析 a10 a1 q9 29 512 个 答案 b 3 等比数列 an 的公比为q 则 q 1 是 对于任意自然数n 都有an 1 an 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件解析 当a1 0时 条件与结论均不能由一方推出另一方 答案 d 4 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为sn 若sn 1 sn sn 2成等差数列 则公比 a q 2b q 1c q 2或q 1d q 2或q 1解析 由题意可得2sn sn 1 sn 2 当q 1时 即2 q q2 解之得q 2或q 1 当q 1时不成立 答案 a 5 教材改编题 a b两个工厂2009年元月份的产值相等 a厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同 b厂产值也逐月增加且月增长率相同 而2010年元月份两厂的产值又相等 则2009年7月份产值高的工厂是 解析 设两工厂的月产值从2009年元月起依次组成数列 an bn 由题意知 an 成等差数列 bn 成等比数列 并且a1 b1 a13 b13 由于 an 成等差数列 即2009年7月份a厂产值高于b厂产值 答案 a厂 例1 2006 辽宁高考 在等比数列 an 中 a1 2 前n项和为sn 若数列 an 1 也是等比数列 则sn等于 a 2n 1 1b 3nc 2nd 3n 1 命题意图 本题主要考查等比数列的概念 求和公式等综合应用 解析 解法一 由 an 为等比数列可得an 1 an q an 2 an q2 由 an 1 为等比数列可得 an 1 1 2 an 1 an 2 1 故 an q 1 2 an 1 an q2 1 化简上式可得q2 2q 1 0 解得q 1故an为常数列 且an a1 2 故sn n a1 2n 故选c 解法二 设等比数列 an 的公比为q 则有a2 2q且a3 2q2令an 1 bn则有b1 3 b2 2q 1 b3 2q2 1又 数列 bn 为等比数列 2q 1 2 3 2q2 1 解得q 1 以下同解法一 解法三 运用特殊与一般的数学思想 令an 2 显然符合题意 故数列 an 1 也符合题意 故sn na1 2n 可见 在数列问题中 常数列往往可以作为一种典型的模型予以考虑 答案 c 2009 浙江嘉兴一中 各项都是正数的等比数列 an 中 a2 a3 a1成等差数列 则的值为 答案 b解析 由题意可知 a3 a1 a2 q2 1 q 解得 舍去 所以选b 例2 银行按规定 每经过一定的时间结算存 贷 款的利息一次 结算后立即将利息并入本金 这种计算利息的方法叫复利 现在某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年增加30 的利润 乙方案 每年贷款1万元 第一年可获利1万元 以后每年比前一年多获利5千元 两种方案的使用期限都是10年 到期一次性归还本息 若银行贷款利息均按年息10 的复利计算 试比较这两种方案哪个获利更多 计算结果精确到103元 参考数据 1 110 2 594 1 310 13 786 思路点拨 甲方案中 每年的获利组成一等比数列 乙方案中每年的获利组成一等差数列 分别计算出10年的净获利之和作比较即可 解析 甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前n项的和1 1 30 1 30 2 1 30 9 42 62 万元 到期时银行贷款的本息为10 1 10 10 10 2 594 25 94 万元 甲方案扣除贷款本息后净获利42 62 25 94 16 7 万元 乙方案逐年获利组成一个等差数列 10年共获利1 1 0 5 1 2 0 5 1 9 0 5 而贷款本息为1 1 1 1 10 1 10 9 乙方案扣除贷款本息后 净获利为32 50 17 53 15 0 万元 比较可知 甲方案获利多于乙方案获利 即甲方案比乙方案获利多 某林场有荒山3250亩 从2009年1月开始在该荒山上植树造林 且保证每年种树全部成活 第一年植树100亩 以后每年都比上一年多植树50亩 1 问至少需几年才可将此荒山全部绿化 2 如果新种树苗每亩的木材量为2立方米 树木每年的自然增材率为10 那么到此荒山全部绿化后的那一年底 这里树木的木材量总共为多少立方米 1 111 2 85 解析 1 设至少需要n年才可将此荒山全部绿化 第一年植树a1 100亩 第n年植树an与第n 1年植树an 1满足an an 1 50 每年植树 an 构成等差数列 sn 100n 3250 n2 3n 130 0 即 n 13 n 10 0 n 10 故至少需要10年才能将此荒山全部绿化 2 设树木的木材量总共为m立方米 m 2 a1 1 110 a2 1 19 a3 1 18 a9 1 12 a10 1 1 1 1 a1 1 111 a2 1 110 a3 1 19 a9 1 13 a10 1 12 1 1 a1 1 111 a2 a1 1 110 1 19 1 12 a10 1 1 0 05m 100 1 111 50 1 110 1 19 1 12 550 1 1 100 2 85 50 605 285 820 605 500 m 10000立方米 故这里木材总量为10000立方米 例3 设函数f x a b为常数 a 0 若f 1 且f x x只有一个实根 1 求f x 的解析式 2 若数列 an 满足关系式an f an 1 n n 且n 2 又a1 求an的通项公式 3 设bn 求bn的最大值与最小值 以及相应的n值 分析 1 利用函数与方程的思想 2 利用函数构造新数列 3 利用函数的单调性 从而求出数列最大项与最小项 解析 1 由f 1 可得a b 3 又由f x x 0 得x ax 1 b 0 方程只有一个实数根 得b 1 a 2 则f x 2 由an f an 1 得an 是等差数列 又 2005 2005 2 n 1 2n 2007 an 3 由 2 知bn 且n 1003时 bn单调递增且大于1 当n 1003时 bn单调递增且小于1 当n 1003时 bn最大值为3 当n 1004时 bn最小值为 1 探究 利用函数与方程的思想 转化构造出新数列是解决函数与数列综合问题的常用手段 2009 安徽合肥 已知数列 an 中 a1 点 1 0 在函数f x anx2 an 1x的图象上 1 求数列 an 的通项 2 设bn log2a2n 1 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由已知f 1 0 an 1 an 又因为a1 0 所以数列 an 是公比为的等比数列 所以an 2 由bn log2a2n 1 1 2n 所以tn 1 3 5 1 2n n2 1 在等