[高一数学]三角函数教案2.doc

课 题：14正弦函数、余弦函数的图象和性质（2）主备教师：杨国库 万凌寒 备课时间：2012 年5月 适用年级：高一年级教学内容1.4.2正弦函数、余弦函数的图象和性质（2）教学目标1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3掌握正弦函数yAsin(x)的周期及求法教学重难点重点：正、余弦函数的性质难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学时数 一课时教 与 学 活 动集备意见一、复习引入：1 正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线 2用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x0，2、余弦函数y=cosx，x0，2的图象（几何法）： 把y=sinx，x0，2和y=cosx，x0，2的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线 3用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象yxo1-1（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)4用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式二、讲解新课： (1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作：ysinx，xRycosx，xR(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以sinx1，cosx1，即1sinx1，1cosx1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1(3)周期性由sin(x2k)sinx，cos(x2k)cosx (kZ)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T0则定义域无上界；T0时 当k0则定义域无上界；T0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的2它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A3若A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）2若0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A若A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）若0，cosb=0 a可能在一、二象限，b在一、四象限若a、b均在第一象限，则cosa=，sinb= cos(a-b)=若a在第一象限，b在四象限，则cosa=，sinb=- cos(a-b)=若a在第二象限，b在一象限，则cosa=-，sinb= cos(a-b)=若a在第二象限，b在四象限，则cosa=-，sinb=- cos(a-b)=例3已知cos(2-)=-,sin (-2)=,且,0,求cos(+)的值 分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范围，分别求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解 解：, 2-,- -2, 由cos(2-)=-得，sin (2-)=; 由sin (-2)=得，cos(-2)= cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin (2-)sin (-2)=- += 评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：=(+)-,+2=(+)+,=,四、课堂练习：1已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值解: (sina+sinb)2+(cosa+cosb)2=2+2 cos(a-b)=2+=2sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, ),b(0, ),求cos(a-b)的值解: sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, ),b(0, ),(sina-sinb)2=(-)2，(cosa-cosb)2=()22-2 cos(a-b)= cos(a-b)=五、小结 距离公式，两角和与差的余弦六、课后作业：课 题：31两角和与差的正弦、余弦、正切（2） 主备教师：杨国库 万凌寒 备课时间：2012 年5月 适用年级：高一年级教学内容31两角和与差的正弦、余弦、正切（2）教学目标能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学重难点教学重点： 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式教学难点： 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学时数 一课时教 与 学 活 动集备意见一、复习引入：1两角和与差的余弦公式: 2求cos75的值 解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=3计算：cos65cos115-cos25sin115解：原式= cos65cos115-sin65sin115=cos(65+115)=cos180=-14 计算：-cos70cos20+sin110sin20原式=-cos70cos20+sin70sin20=-cos(70+20)=05已知锐角a,b满足cosa= cos(a+b)=求cosb解：cosa= sina=又cos(a+b)=0 a+b为钝角 sin(a+b)=cosb=cos(a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina = （角变换技巧）二、讲解新课： 两角和与差的正弦 1 推导sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=cos(-a)cosb+sin(-a)sinb=sinacosb+cosasinb即： （Sa+b）以-b代b得： （Sa-b）2公式的分析，结构解剖，嘱记三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：1 sin75 2 sin13cos17+cos13sin17解：1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45= 2原式= sin(13+17)=sin30= 例2 求证：cosa+sina=2sin(+a)证一（构造辅助角）：左边=2(cosa+ sina)=2(sincosa+cos sina)=2sin(+a)=右边 证二：右边=2(sincosa+cos sina)=2(cosa+ sina)= cosa+sina=左边例3 已知sin(a+b)=,sin(a-b)= 求的值 解： sin(a+b)= sinacosb+cosasinb= = sin(a-b)= sinacosb-cosasinb= +：sinacosb= -：cosasinb=四、课堂练习 1 在ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（A）（A） （B） （C） （D）解：因为C = p - (A + B)， 所以cosC = - cos(A + B) 又因为A,B(0, p), 所以sinA = , sinB =, 所以cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =2已知， 求sin(a + b)的值 解： 又 又 sin(a + b) = -sinp + (a + b) = 五、小结 两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”六、课后作业：1已知sina + sinb = ，求cosa + cosb的范围解：设cosa + cosb = t，则(sina + sinb)2 + (cosa + cosb)2= + t22 + 2cos(a - b) = + t2 即 cos(a - b) = t2 -又-1cos(a - b)1 -1t2 -1 t课 题：31两角和与差的正弦、余弦、正切（2） 主备教师：杨国库 万凌寒 备课时间：2012 年5月 适用年级：高一年级教学内容31两角和与差的正弦、余弦、正切（2）教学目标识与技能目标：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式过程与方法目标：通过例题的讲解，使学生对两角和差公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧情感态度和价值观目标：培养探索和创新的能力和意识 教学重难点教学重点：根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学难点：公式Ta+b ,Ta-b及运用教学时数 一课时教 与 学 活 动集备意见一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式 2求证：cosx+sinx=cos(x) 证：左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin)=cos(x)=右边又证：右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) = cosx+sinx=左边2已知sina+sinb= ， cosa+cosb= ，求cos(a-b)解： 2: sin2a+2sinasinb+sin2b= 2: cos2a+2cosacosb+cos2b= +: 2+2(cosacosb+sinasinb)=1 即：cos(a-b)=二、讲解新课： 两角和与差的正切公式 Ta+b ,Ta-b1tan(a+b)公式的推导 cos (a+b)0tan(a+b)= 当cosacosb0时, 分子分母同时除以cosacosb得：以-b代b得：其中都不等于2注意：1必须在定义域范围内使用上述公式即：tana，tanb，tan(ab)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解 2注意公式的结构，尤其是符号3引导学生自行推导出cot(ab)的公式用cota，cotb表示cot(a+b)= 当sinasinb0时,cot(a+b)=同理，得：cot(a-b)=三、讲解范例：例1求tan15，tan75及cot15的值：解：1 tan15= tan(45-30)= 2 tan75= tan(45+30)= 3 cot15= cot(45-30)= 例2 已知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0a90, 90b180 解：cot(a-b)= tan(a+b)=且0a90, 90b180 90a+b270 a+b=135例3 求下列各式的值：1