高中数学 1章整合 精品课件同步导学 新人教A版选修23.ppt

1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 2 排列与组合 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 3 二项式定理 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1 计数原理内容考查比较稳定 试题难度起伏不大 排列组合题目一般为选择 填空题 考查排列组合的基础知识 思维能力 多数试题与教材习题的难度相当 但也有个别题难度较大 二项式定理是高考重点考查内容之一 2 高考中对排列组合的考查与概率相结合 将在解答题中出现 而二项式定理仍要考查它的通项公式和性质 其难度为中低档题 使用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理 要根据我们完成某件事情时采取的方式而定 怎样确定是分类还是分步 分类 表现为其中任何一类均可独立完成所给事情 分步 表现为必须把各步骤均完成 才能完成所给事情 所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰 不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件 分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可 需要依次完成所有步骤才能完成事件 步与步之间互不影响 即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法 如图所示 从a地到b地有3条不同的道路 从b地到c地有4条不同的道路 从a地不经b地直接到c地有2条不同的道路 1 从a地到c地共有多少种不同的走法 2 从a地到c地再回到a地有多少种不同的走法 3 从a地到c地再回到a地 但返回时要走与去时不同的道路 有多少种不同的走法 解析 1 从a地到c地的走法分为两类 第一类经过b地 第二类不经过b地 在第一类中分两步完成 第一步从a地到b地 第二步从b地到c地 所以从a地到c地的不同走法总数是3 4 2 14 种 2 该事件发生的过程可以分为两大步 第一步去 第二步回 由 1 可知这两步的走法都是14种 所以去后又回来的走法总数是14 14 196 种 3 该事件发生的过程与 2 一样可分为两大步 但不同的是第二步即返回时的走法比去时的走法少一种 所以 走法总数为14 13 182 种 设有编号 的5个球和编号为1 2 3 4 5的5个盒子 现将这5个球投入这5个盒子内 要求每个盒子内投入一个球 并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同 则这样的投放方法总数为多少 解析 由题意知需保证只有2个球的编号与盒子的编号相同 另外3个球的编号与盒子的编号全不相同 这样先在5个球中任选2个球投放到恰好编号相同的盒子内 有10种选法 剩下3个球不能投放到与之编号相同的盒子内只有2种方法 不失一般性 不妨设它们的编号为 分配如下 故共有投放方法为10 2 20 种 排列组合应用题是高考的一个重点内容 常与实际问题相结合进行考查 要认真阅读题干 明确问题本质 利用排列组合的相关公式与方法解题 1 在求解排列与组合应用问题时 应注意 把具体问题转化或归结为排列或组合问题 通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理 分析题目条件 避免 选取 时重复和遗漏 列出式子计算并作答 2 处理排列组合的综合性问题 一般思想方法是先选元素 组合 后排列 按元素的性质 分类 和按事件发生的连续过程 分步 始终是处理排列组合问题的基本方法和原理 通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能 3 解排列组合应用题时 常见的解题策略有以下几种 特殊元素优先安排的策略 合理分类和准确分步的策略 排列 组合混合问题先选后排的策略 正难则反 等价转化的策略 相邻问题捆绑处理的策略 不相邻问题插空处理的策略 定序问题除法处理的策略 分排问题直排处理的策略 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 构造模型的策略 常见类型如下 1 直接法 元素 位置优先考虑法 1 特殊元素分析法 即以位置为主考虑 先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 2 特殊位置分析法 即以位置为主考虑 先安排有特殊要求的位置 再考虑其他位置 有两排座位 前排11个 后排12个 现安排2人就座 规定前排中间的3个座位不能坐 并且这2个人不左右相邻 那么不同的排法的种数是 a 234b 346c 350d 363 解析 方法一 因为前排中间3个座位不能坐 所以实际可坐的前排8个 后排12个 1 两人一个前排 一个后排 方法数为c81c121a22 2 两人均在后排 共a122种 排除两人相邻的情况a22a111 即a122 a22a111 3 两人均在前排又分两类 两人一左一右时为c41c41a22 两人同左或同右时为2 a42 a22a31 综上 不同的排法种数为c81c121a22 a122 a22a111 c41c41a22 2 a42 a22a31 346 种 方法二 一共可坐的位置有20个 2个人就座方法数为a202 排除两人左右相邻的情况 可把能坐的20个座位排成连续一行 b与c相接 任两个座位看成一个整体 即相邻的坐法有a191a22 但这其中包括b c相邻 而这种相邻在实际中是不相邻的 还应再加上2a22 不同的排法种数是a202 a191a22 2a22 346 种 答案 b 2 插空法不相邻问题常用插空法 我们可以根据题目的具体特点 首先排完某些元素 再用余下的元素进行插空 这样处理有关的排列组合问题 往往能起到很好的解题效果 马路上有9盏路灯 为了节约用电 可以关掉其中的三盏路灯 要求关掉的路灯不能相邻 且不在马路的两头 那么不同的关灯方案共有多少种 解析 本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空当里 6盏亮着的灯排在一起 中间空当有5个 从5个空当中选出某3个 插进去三盏关掉的路灯 因此 不同的关灯方案共有c53 10 种 3 捆绑法对于n个元素要求相邻的排列问题 可先将相邻的元素 捆绑 起来 看作一个元素 与其他元素排列 然后再考虑它们 内部 的排列 这种解决排列问题的方法称为 捆绑法 用1 2 3 4 5 6 7 8组成没有重复数字的八位数 要求1与2相邻 3与4相邻 5与6相邻 而7与8不相邻 这样的八位数共有多少个 解析 先将1与2 3与4 5与6捆绑起来分别看作一个元素再与7 8排列 所以共有a33a42a22a22a22 576 种 4 间接法 排除法 间接法是求解排列组合问题的常用方法 带有限制条件的排列组合问题 常用 元素分析法 和 位置分析法 当直接考虑对象较为复杂时 可用逆向思维 使用间接法 排除法 即先不考虑约束条件 求出所有排列组合总数 然后减去不符合条件的排列 组合种数 从12人中选出5人去参加一项活动 按下列要求有多少种不同的选法 1 a b c三人至少一人入选 2 a b c三人至多两人入选 解析 1 方法一 直接法 可分三类 a b c三人只选一人 有c31c94 378 种 a b c三人中选择两人 则还须从其余9人中选3人 有c32c93 252 种 a b c三人都入选则有c33c92 36 种 共有378 252 36 666 种 方法二 间接法 先从12人中任选5人 再减去a b c三人都不选的情况 共有c125 c95 666 种 2 方法一 直接法 可分三类 由 1 可得 共有c95 c31c94 c32c93 756 种 方法二 间接法 先从12人中任选5人 再减去a b c三人均入选的情况 即c125 c92 756 种 二项式定理的问题相对独立 题型繁多 解法灵活且较难掌握 现结合近年来的高考试题 根据二项式定理的不同问题 进行分类 并归结出解法探讨 1 确定二项式中的有关元素此类问题一般是根据已知条件 列出等式 从而可解得所要求的二项式中的有关元素 2 确定二项展开式中的常数项此类问题往往是先写出其通项公式 令未知数的指数为零 从而确定项数 然后代入通项公式 即可确定常数项 3 求二项式展开式中条件项的系数此类问题一般是先写出其通项公式 再由条件确定项数 然后代入通项公式求出此项的系数 4 求几个二项式的和 积 的展开式中的条件项的系数5 求展开式中各项系数的和差求展开式中各项系数的和差的一个有效方法是赋值代入 6 确定展开式中的最大或最小项此类问题往往是利用二项式系数的性质来解答 解得n 8或n 3 舍去 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 求 1 a1 a2 a7的值 2 a1 a3 a5 a7的值 3 a0 a2 a4 a6的值 解析 1 令x 0 则a0 1 令x 1 则a7 a6 a1 a0 27 128 所以a1 a2 a7 129 1 由1 2 3 4 5组成没有重复数字且1 2都不与5相邻的五位数的个数是 a 36b 32c 28d 24解析 将3 4两个数全排列 有a22种排法 当1 2不相邻且不与5相邻时有a33种方法 当1 2相邻且不与5相邻时有a22 a32种方法 故满足题意的数有a22 a33 a22 a32 36个 答案 a 2 设n为自然数 则cn02n cn12n 1 1 kcnk2n k 1 ncnn等于 a 2nb 0c 1d 1解析 cn02n cn12n 1 1 kcnk2n k 1 ncnn 2 1 n 1 答案 d 3 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 a 6种b 12种c 30种d 36种解析 从反面考虑 有c42c42 c42 6 6 6 30种不同选法 答案 c 4 五个人排成一排 其中甲不在排头 乙不在排尾 不同的排法有 a 120种b 96种c 78种d 72种解析 由题意可先安排甲 并将其分类讨论 1 若甲在排尾 剩下四人可自由排 有a44种排法 2 若甲在第二 三 四位上 则有a33a31a31种排法 由分类计数原理 排法共有a44 a33a31a31 78种 答案 c 答案 15 6 把座位编号为1 2 3 4 5 6的六张观看 孔子 的电影票全部分给甲 乙 丙 丁四个人 每人至少一张 至多两张 且分得两张票的必须是连号 那么不同的分法种数是 种 解析 第一步 把六张票分成4组 分别是第二步 把这4组票分给甲 乙 丙 丁4个人 有a44种 由分步计数原理得 不同的分法有6a44 144种 答案 144 7 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检 每校分配1名医生和2名护士 不同的分配方法种数共有多少 解析 方法一 设计让3所学校依次挑选 先让学校甲挑选 有