高中数学必修5自主学习导学案：2.5等比数列前n项和.doc

2.5 等比数列的前n项和（学生版）1新课引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里面放1颗麦粒，第2个格子里面放2颗麦粒，第3个格子里面放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里面放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦子的质量为40克，根据调查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能够实现他的诺言探讨1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少？探讨2: 上面式子有什么特点？是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项之和，可以记为 如果式两边同乘以2得 2S64=2+22+23+263+264 探讨3: 比较、两式，有什么关系？两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到：思考1： 纵观全过程，式两边为什么要乘以2 ？思考2：你能求出该数列的前n项和吗？分析： 公式两边同时乘以等比数列的公比2，可得： 两式相减可得：2等比数列前n项和的推导问题：设等比数列，首项，公比，如何求前n项和？ 说明：这种求和方法称为错位相减法思考3：当公比时，有人推导出数列前n项和公式为，你知道如何推导的吗？思考4：当公比时，数列是什么数列？此时数列的前n项和怎么求？等比数列前n项和公式： 思考：这两个公式有什么区别，分别在什么情况下使用？ 典型例题考点1求等比数列的通项公式【例1 】已知等比数列：（1）求其前8项和；（2）该数列前多少项和是？（3）求该数列第5项到第10项的和练习1已知等比数列中，则_练习2已知等比数列中 ，则_考点2 等比数列前n项和公式的基本运算【例2 】在等比数列an中，(1)若a11，a516，且q0，求S7；(2)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(3)若a3，S3，求a1和公比q.练习1：已知等比数列中，求=_练习2：已知等比数列中，则_练习3：在等比数列an中，a1an66，a2an1a3an2256，且前n项和Sn126，求n及公比q.考点3错位相减法求数列的前n项和【例3】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和点评：(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法特别注意等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论练习1数列的通项，前项和为，求练习2求数列nxn的前n项和Sn.思维启迪：讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方法 当堂检测1设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5()A. B. C. D.2数列1，x，x2，xn1(x0)的前n项和为()A. B. C. D以上均不正确3已知等比数列an的前n项和Sn2n1，则aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1) C4n1 D.(4n1)4若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.5已知等比数列an的首项a11，且公比q2，求数列nan的前10项的和考点4 等比数列前n项和公式的实际应用【例4】 从社会效益和经济效益出发，基地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？分析：该题中每年的资金投入都比上一年减少，每年的旅游业收入都比上一年增加，故为等比数列模型考点5 等比数列前n项和的性质（1）连续m项的和，如Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列（2）an为等比数列SnAqnB(AB0)（3）在等比数列an中，若项数为2n(nN*)，则q.（4）在等比数列an中，SmnSnqnSm.（5）在等比数列中，序号成等差数列的项构成一个新的等比数列如在等比数列中(公比为)，也依次成等比数列，其首项是，公比是（6）若、均为等比数列，则也为等比数列，也为等比数列；（7）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数的形式；前项和公式是关于的函数的形式 【例5】在等比数列an中，若S1010，S2030，求S30.练习1（1）在等比数列中，前项和为，若，求公比.（2）在等比数列中，前项和为，若，求.1某厂去年的产值记为，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）A B C D2等比数列中， ，则的前4项和为 （ ）A81 B120 C168 D1923在等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4 C2 D24数列的通项公式为，则它的前5项和等于（ ）A B C D5若数列的通项公式为，则前项和为( )A B C D6已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D3(1310)7已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35 B33 C31 D298已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5 C. D.9若数列an的前n项和为Sn3na(a为常数)，则数列an是()A等比数列 B仅当a1时，是等比数列 C不是等比数列 D仅当a0时，是等比数列10在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为an_.11设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，则_.12在等比数列an中，a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.13已知是公比为的等比数列，若，则的值是 _14在等比数列中，设前项和为，若，则公比 15若数列满足，且，则等于 16已知数列，是其前项的和，且，（1）求数列的通项公式；（2）求关于的表达式子17在公差不为零的等差数列an和等比数列bn中，已知a1b11，a2b2，a6b3.(1)求等差数列an的通项公式an和等比数列bn的通项公式bn； (2)求数列anbn的前n项和Sn.18已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn2.5 等比数列的前n项和（教师版）1新课引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里面放1颗麦粒，第2个格子里面放2颗麦粒，第3个格子里面放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里面放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦子的质量为40克，根据调查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能够实现他的诺言探讨1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少？1+2+22+263探讨2: 上面式子有什么特点？是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项之和，可以记为 S64=1+2+22+263 如果式两边同乘以2得 2S64=2+22+23+263+264 探讨3: 比较、两式，有什么关系？两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到：思考1： 纵观全过程，式两边为什么要乘以2 ？思考2：你能求出该数列的前n项和吗？分析： 公式两边同时乘以等比数列的公比2，可得 两式相减可得：2等比数列前n项和的推导问题：设等比数列，首项，公比，如何求前n项和？ 说明：这种求和方法称为错位相减法思考3：当公比时，有人推导出数列前n项和公式为，你知道如何推导的吗？思考4：当公比时，数列是什么数列？此时数列的前n项和怎么求？等比数列前n项和公式：思考：这两个公式有什么区别，分别在什么情况下使用？ 典型例题考点1求等比数列的通项公式【例1 】已知等比数列：（1）求其前8项和；（2）该数列前多少项和是？（3）求该数列第5项到第10项的和解：依题意，该数列的前项和为：（1）；（2），解得；（3）依题意，所以练习1：已知等比数列中，则_6_练习2、已知等比数列中 ，则_考点2 等比数列前n项和公式的基本运算【例2 】在等比数列an中，(1)若a11，a516，且q0，求S7；(2)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(3)若a3，S3，求a1和公比q.分析：解答本题可以根据条件建立方程或方程组，求出基本元素a1和q，再求出所要求的量解析：(1)因an为等比数列且a11，a516a5a1q4，16q4，q2(负舍)S7127.(2)法一：由Sn，ana1qn1，以及已知条件得a12n192，2n.189a1(2n1)a1，a13.又2n132，n6.法二：由公式Sn及条件得189，解得a13，又由ana1qn1，得9632n1，解得n6.(3)当q1时，S3，又a3a1q2，a1(1qq2)，即(1qq2)，解得q(q1舍去)，a16. 当q1时，S33a1，a1.综上得或练习1：已知等比数列中，求解: ，两式相除得，解得练习2：已知等比数列中，则_练习3：在等比数列an中，a1an66，a2an1a3an2256，且前n项和Sn126，求n及公比q.解：an是等比数列，a1ana2an1a3an2.a2an1a3an2256，a1an128. 又a1an66，或显然q1，由公式Sn126.(1)当a12，an64时，得q2，由ana1qn1，得2n132，n6.(2)当a164，an2时，同理解得q，n6.综上，n6，q2或.考点3错位相减法求数列的前n项和【例3】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（2）， ，得，所以点评：(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法特别注意等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论练习1数列的通项，前项和为，求解析：两边乘2得 两式相减得，故练习2求数列nxn的前n项和Sn.思维启迪：讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方法解：(1)当x0时，an0，Sn0.(2)当x1时，ann，Sn.(3)当x0且x1时，Snx2x23x3(n1)xn1nxnxSn x22x3(n2)xn1(n1)xnnxn1得，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Snnxn1(n1)xn1， 当堂检测1设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5()A. B. C. D.解析：设等比数列an的公比为q，由题意知即解得S5. 答案：B2数列1，x，x2，xn1(x0)的前n项和为()A. B. C. D以上均不正确解析：在不能确定公比q是否为1时，要分类讨论当x1时，Sn；当x1时，Snn.答案：D3已知等比数列an的前n项和Sn2n1，则aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1) C4n1 D.(4n1)解析：根据前n项和Sn2n1，可求出an2n1，由等比数列的性质可得a仍为等比数列，且首项为a，公比为q2，aaa1222422n2(4n1)答案：D4若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析：由题意知解得故Sn2n12.答案：22n125已知等比数列an的首项a11，且公比q2，求数列nan的前10项的和解：由题意，an2n1，设nan的前n项和为Sn，则S101202213221029，2S1012122232310210，两式相减得：S101212223291021019210，所以S1019210.考点4 等比数列前n项和公式的实际应用【例4】 从社会效益和经济效益出发，基地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？分析：该题中每年的资金投入都比上一年减少，每年的旅游业收入都比上一年增加，故为等比数列模型解析：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，第n年的投入为800n1万元，所以，n年内的总投入为：an800800800n14 0004 000n.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入为400n1万元所以n年内的旅游业总收入为bn400400400n11 600n1 600.(2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1 6004 0000.化简得5n2n70.设xn，代入上式得5x27x20，解此不等式，得x1(舍去)即n，由此得n5.答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入考点5 等比数列前n项和的性质（1）连续m项的和，如Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列（2）an为等比数列SnAqnB(AB0)（3）在等比数列an中，若项数为2n(nN*)，则q.（4）在等比数列an中，SmnSnqnSm.（5）在等比数列中，序号成等差数列的项构成一个新的等比数列如在等比数列中(公比为)，也依次成等比数列，其首项是，公比是（6）若为等比数列，则也为等比数列，若和都为等比数列，则也为等比数列（7）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数的形式；前项和公式是关于的函数的形式 【例5】在等比数列an中，若S1010，S2030，求S30.解析：法一：设公比为q，S1010，S203020，q1.得1q103，q102.将q102代入得10，S3010(123)70.法二：S10，S20S10，S30S20成等比数列，又S1010，S2030，S30S20S303040，S3070.练习1（1）在等比数列中，前项和为，若，求公比.（2）在等比数列中，前项和为，若，求.解：（1）当时，为常数数列，；符合题意；当时，求得综上，或（2）当时，为常数数列，与题意不合，所以，此时，两式相除，得，代入得，所以1某厂去年的产值记为，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）A B C D1C 提示：2等比数列中， ，则的前4项和为 （ ）A81 B120 C168 D1922B 解：由已知，得公比，故3在等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4 C2 D2解析：S5，44，a14，故选A.4数列的通项公式为，则它的前5项和等于（ ）A B C D4B 提示：数列为等比数列，5若数列的通项公式为，则前项和为( )A B C D5B 提示：，用错位相减法求和6已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D3(1310)解析：由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以S103(1310)答案：C7已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35 B33 C31 D29解析：设等比数列an的公比为q，则由等比数列的性质知a2a3a1a42a1，即a42.由a4与2a7的等差中项为知，a42a72，即a7.q3，即q.a4a1q3a12，即a116. S531. 答案：C8已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5 C. D.解析：由题意知q1，9(a1a2a3)a1a2a6，8(a1a2a3)a4a5a6(a1a2a3)q3，q2，an2n1，. 答案：C9若数列an的前n项和为Sn3na(a为常数)，则数列an是()A等比数列 B仅当a1时，是等比数列C不是等比数列 D仅当a0时，是等比数列解析：an当a1时，a12适合通项an23n1，故数列an是等比数列当a1时，an不是等比数列，故选B.10在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为an_.解析：q4，S3a1(1qq2)21，a11.ana1qn14n1.11设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，则_.解析：a4a13a1，S4a1，15.12在等比数列an中，a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析：设等比数列an