六年级奥数竞赛考点详解：巧算求和.doc

五 巧算求和德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1977年1855年）他上小学时，老师出了一道数学题：1+2+3+100=？小高斯看了看题目，想了一下，很快说出了结果是5050他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说但小高斯得出的结果被确定是正确的同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，50+51=101一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以1+2+3+100=10150，也就是：（1+100）（1002）=10150=5050高斯的老师所出的题目，实际上是数列的求和问题那么什么是数列呢？按照一定次序排列的一列数叫做数列数列中的数叫做数列的项，第一个数叫做第一项，又叫做首项；第二个数叫做第二项；最后一个数叫做末项高斯的老师所出的题目，实际上是求数列：1，2，3，4，99，100的和这个数列有什么特点呢？可以发现：2-1=3-2=4-3=100-99=l，即从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，像这样的数列叫做等差数列，这个相等的差叫做这个等差数列的公差如：1，2，3，4，是等差数列，公差为1；1，3，5，7，是等差数列，公差为2；2，5，8，11，是等差数列，公差为3由高斯的巧算可以得到：1+2+3+98+99+100=（1+10O）（1002），即（1+100）1002由此可以得出等差数列的求和公式：总和=（首项+末项）项数2我们利用这个公式，可以很迅速地求出等差数列的前n项的和问题5.1 计算下列各题：（1）1+3+5+99；（2）1+4+7+100；（3）1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009分析（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是1，末项是99，项数是50，所以1+3+5+97+99=（1+99）502=10025=2500（2）这是一个公差为3、首项是1、末项是100、项数是34的等差数列，所以1+4+7+97+100=（1+100）342=10117=1717（3）这是一个公差是10、首项是1949、末项是2009、项数是7的等差数列，所以1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009=（1949+2009）72=19797=13853在上面的解题过程中，怎样根据等差数列的首项、末项及公差来确定项数呢？同学们经过分析完全可以得出下面的计算公式：项数=（末项-首项）公差+1另外，当这个等差数列是奇数个项时，总和=中间项项数同学们想一想这是为什么？问题5.2 计算下列各题：（1）6000-1-2-3-99-100；（2）（1+3+5+7+1993）-（2+4+6+8+1992）。分析（1）可先利用减法的性质，把原题变为6000-（1+2+3+100），然后再利用等差数列的求和公式计算（2）可分别利用等差数列的求和公式计算。解（1）6000-1-2-3-99-100=6000-（1+2+3+99+100）=6000-（1+100）1002=6000-5050=950（2）（1+3+5+1993）-（2+4+6+1992）=（1+1993）9972-（2+1992）9962=9972-997996=997（997-996）=9971=997（2）也可以这样解：（1+3+5+7+1993）-（2+4+6+8+1992）=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（1993-1992） 问题5.3 计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99分析 把原题作适当的变形，然后再利用等差数列的求和公式计算解1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99=（1+2+3+4+97+98+99）-2（3+6+9+99）=（1+99）992-2（3+99）332=4950-3366=1584。问题5.4 计算997+995+993+1009+1004+1011分析 当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千、的数作为计数的基础，再找出每一个加数与这个数（基准数）的差大于基准数的作为加数，小于基准数的作为减数，把这些差累计起来，再用基准数乘以加数的个数，加上累计差，就是这些数的和本题选1000作为基准数较合适解 997+995+993+1009+1004+1011=（1000-3）+（1000-5）+（1000-7）+（1000+9）+（1000+4）+（1000+11）=10006+（9+4+11）-（3+5+7）=6000+