电磁场的复矢量表示.doc

电磁场的复矢量表示第26卷第4期2007年4月大学物理C0LLEGEPHYSICSV01.26No.4Apr.2007电磁场的复矢量表示许冰,严亮.,刘丽华(1.(3v学物理编辑部,北京100875;2.高等教育出版社高职高专分社,北京100029;3.北京科技大学物理系,北京100083)摘要:在麦克斯韦方程组及洛伦兹力密度公式基础上引入电磁场复矢量,讨论了电磁场普遍规律的新公式,包括对复矢量电磁场的建立,电荷守恒定律,能量守恒定律,电磁场矢势与标势,电磁场动量,能量,张量,相对论协变性等的研究,并和电动力学相比较,得出一些结论.关键词:电磁场;麦克斯韦方程组;电荷守恒定律;电磁场能量守恒定律;洛伦兹力;能量密度;能流密度;动量密度;动量流密度张量;相对论协变性中图分类号:O441文献标识码:A文章编号:10000712(2007)04001608电磁场是物质世界的重要组成部分之一.在生产实践和科学技术领域内存在着大量和电磁场有关的问题,掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义.电磁学对基本的实验现象,规律做出了详细的阐述,电动力学则在电磁学的基础上更深入,系统地阐述了电磁场的基本理论,使人们对电磁现象的了解更加全面,更加理论化.而这一理论的建立是在人们长期观察和生产活动的基础上发展起来的.18世纪中叶以后,在工业生产发展的推动下,开展了自然科学的实验探索,电磁学得到了较快的发展,人们研究了静电,静磁和电流等现象,总结出一些实验定律.但是,电磁学的重大进展是在人们认识到电现象和磁现象之间的深刻内在联系以后才开始的.1820年,奥斯特发现电流的磁效应;1831年,法拉第发现电磁感应定律,并提出场的思想.至此,电现象和磁现象不是彼此孤立的,而是作为矛盾统一的整体开始为人们所认识.在此基础上,1864年,麦克斯韦把电磁规律总结为麦克斯韦方程组,这一方程组与电荷守恒定律,洛伦兹力密度公式一起组成了电动力学的理论框架.本文正是在这一基本理论框架的基础上将电场与磁场统一起来,二者分别成为一复矢量的实部与虚部,据此,我们可以推导出一系列公式,并与电动力学的相应理论相比较,得出一些结论.收稿日期:20060623;修回日期:20061109作者筒介:许冰(1975一),女,江苏常州人,(3v学物理编辑部编辑1复矢量电磁场的建立1.1电动力学的基本理论框架1)电荷守恒定律1积分形式:SJdS+dfvPdV=0lJS11微分形式(电流连续性方程):.J+=0f(1)电荷守恒定律的物理意义是:单位时间通过界面S流人体积内的总电流等于内电荷量的增量.2)麦克斯韦方程组.E:卫go?B:0E:一aB(2)dt口J十0.筹麦克斯韦方程组揭示了电磁场的内在矛盾和运动特性.不仅电荷和电流可以激发电磁场,而且变化的电场和磁场也可以互相激发.3)洛伦兹力密度公式若电荷连续分布,其密度为p,则电荷系统单位体积所受的力密度,为,=pE+JB=P(+秒B)(3)1.2复矢量电磁场的建立1)复矢量电磁场的引入第4期许冰等:电磁场的复矢量表示17足义电磁场夏天重F=E+l_B(4),/1o它将电场和磁场统一为一个整体,电场和磁场只不过是这一整体的两个不同方面.其中,电场为这一复矢量的实部,磁场为虚部.2)复矢量电磁场方程的推导对式(4)取散度,并利用式(2)有(E+i)=P对式(4)取旋度,并利用式(2)(c)有VXF=,/Go去B)=3B)+i+eo.)=i筹+去筹)+iJ:iaF+iCGoJ即lF一=iCGoJdtLC式中c=1/.3)电荷守恒定律的得出对式(5)第二式取散度,并利用式(5)第一式,可得(F)一ia(F)=iGoVJ一=i?Jca所以J+对空间积分得J.ds+dfpdV=0此即电荷守恒定律的微分形式和积分形式.4)两种特殊情况的复矢量电磁场方程谐变电磁场(1D(r,t)=lD(r)e.i,J(r.t)=J(r)e-)令F(r,t)=F(r)e.i由式(5)第一式得.F(,):00.F(,):0由式(5)第二式得(忌=)F(r,)一i.F8(r,)=iJ(r,)F(r)一kF(r)=i/0J(r)故谐变电磁场的场方程为f.F(,):0(6)【F(r)一kF(r):iJ(r)谐变电磁场且无源(D:J=0)由式(6)得FkF:0【(r)一(r):对式(7)第二式取散度?F(r)一忌?F(r)=0故F(r)=0由此可见,式(7)第二式包含了第一式,故无源空间的谐变电磁场只需满足方程:F(r)一kF(r)=02能量守恒定律2.1电动力学中的能量守恒定律1)能量转化和守恒定律场的能量密度的物理意义是场内单位体积的能量;能流密度.s的物理意义是单位时间垂直流过单位横截面的能量,其方向代表能量的传输方向.能量守恒定律为f积分形式:一s?d=.f?移dV+墨J.wdVfSl积分形式:一s?d=l?移+liJJVuJv1l微分形式:?s4-:一,?移(8)能量守恒定律的物理意义是:单位时间通过界面S流人体积内的能量等于场对内电荷作的功与V内电磁场能量增量之和.l8大学物理第26卷2)能量密度硼和能流密度S的表达式根据场和电荷相互作用的规律麦克斯韦方程组和洛伦兹力密度公式可导出电磁场的能量密度和能流密度的具体表达式(真空中)为:(9)2.2电磁场能量守恒定律的复矢量表示1)复矢量电磁场的能量密度硼和能流密度s的表达式由定义式(4),有E斗B=E一B可得ccF于是S:1EB:.(10)l.(13)l粪JF*+娶:一iJ2(.s+)=_ic.(FF)+3(F)=(F?3F*+F?OF)=i(VF_i_OFI,?(+)=icF?i.,一icF?(一i,/oJ)=(11)故?s+=一,?对空间积分得一s?d仃=J.f.vdV+dfwdV去去cFicF一(一FF+FF)一FF硼:1(e0E2+)=1e0c+去cF1(F+F)一(F一F)=1F?Flipjs=一(12)l硼:F*.Ff硼.2)电磁场能量守恒定律复矢量表示的导出电磁场用复矢量表示后,我们很容易便可得出电磁场能量守恒定律的表达式.南式r1n,可得.此即电磁场能量守恒定律的微分形式和积分形式.3电磁场的矢势与标势3.1电动力学中的电磁场矢势与标势1)矢势与标势的引入稳恒场中,由磁场B的无源性可引入矢势A,使B=A(15)一般情况下,电场是有源和有旋的场,可使E一(16)2)规范变换与规范不变性用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的,即给定的E和B并不对应于唯一的A和.变换A=A【一一称为势的规范变换,每一组(A,)称为一种规范.当势作规范变换时,所有物理量和物理规律都应该保持不变,这种不变性称为规范不变性.规范变换自由度的存在是由于在势的定义式一B一2=S,l第4期许冰等:电磁场的复矢量表示l9甲,只给出A的旋度而没有给出A的散度.其中满足0(17)条件的被称为洛伦兹规范.3)达朗贝尔方程由麦克斯韦方程组和式(15)一式(17)可导出达朗贝尔方程f2A一Ct:Jld一Ct=一o(18)ldEI(A+:0)3.2复矢量电磁场的矢势与标势1)复矢量电磁场的矢势,标势表示将式(15),(16)代人定义式(4)得F=/E+:B=/Zo一(+)+iA(19)2)达朗贝尔方程的导出将式(19)代人式(5)第一式?F=可得/o一+丢A)+iA=一一暑A(一争)+丢()=一将式(19)代人式(5)第二式F一了i3F=i,厂t,可得(+)+iV+(+)+丢t,Po一V2A+C(t+)=iJ/ddf/一(一)+i()=iJ(一)一()=t,取洛伦兹规范A+C=0c,则有f一11)2ACt=一.t,l口一Ct=一oldEA+=0)此即达朗贝尔方程.4电磁场的动量,能量张量4.1动量守恒定律1)动量密度g和动量流密度张量的导出电磁场和其他物体一样具有动量,利用麦克斯韦方程组和洛伦兹力密度公式可得,一一e.EE一耶+吾E.+B20/1一L0j3e.(EB)令g0EB(20)为电磁场的动量密度;一.EE1BB0+丢+0)(2l/一为电磁场的动量流密度张量,则,一?一舅2)动量守恒定律微分形式:,+=.【积分形式:.d+dfvgdV=一?ds(22)4.2新旧理论某些物理的对比1)电动力学中某些物理量的表达式能流密度:S:EB0能量密度:叫=1(E2+)动量密度:g0EB动量流密度张量:大学物理第26卷=一coEE一.BB+1-(E2+)由此可构成一四维张量:一声11一声21一声311cg1一声12一声,一声321cg2一声13一声23一声331cg3一s?一S,C.一SC叫(23)洛伦兹力密度:.厂=一?一努功率密度:户一s一2)复矢量电磁场理论中某些物理量的对应表达式能流密度:S=一.1CFF能量密度:F.F叫.动量密度:ge.E.1(F+F)i(FF)1(+F)(F一F)=一F(24)动量流密度张量:=一coEEZ.BB+II(,oE2+堡/1o)=cnF,cnF)一cc+叫=一I(F+F)(F+F)+丢(F一F)(F一F)+1Z(F?F)=一1(FF+FF丢(F)=丢(F)一FFFF*则口J得:洛伦兹力密度:.厂一?一aga(26)功率密度:户=一?s一证明:将式(24),(25)代入式(26),并利用式(13),(14),可得,=一?一=一?(F)一FF一一丢(一izFF)=一1?E/(F?F)+1?FF十?FF+i8(FF)=一1(F?F)?一1(F?F)V?+1(?F)F+丢(F?V)F+1(?F)F+丢(F?V)F+去F+)-F万aF=1一(FF)+()F+(FF+(?F)F+(F?V)F+型F+万aFCdtCt=dJ丢-F(F)_(V)FF(VF)一(F?V)F+(?F)F+(F?V)F+(V?F)F+(F?V)F+F+筹=一2F(F)一F(F.)一fV.F)FfV?F)F一CdtFCdt=J-XF-7-)F十(F+i3F*/F+1()F+丢(?F)F=JF*2,一JF+2,)_F+)_F=22第4期许冰等:电磁场的复矢量表示21J(_F)+(+F)=J(一B)+2E=JB+pE一.(一萼FF卜引81F.F)=L_c(vF)?F一icF?(F)一丢?筹:等(+等一?(F一筹)=等(一iJ)?F一iCF?i4-Zs=1.J.F+1F.,J.(F+F):2/s.去式(26)得证.5相对论协变性5.1电动力学的相对论协变性1)洛伦兹变换相对诊时奉出标弯搀公式.即洛伦兹变换式为=7zct卜Y=Yz=z(27),:兰:一z=了一卜梆一-,vy1?它=+z卜Y=Yz=z(28):Ct:yt,+,.p,:=十_rj一丢c2)相对论理论的四维形式在相对论中,时间和空间不可分割,当参考系改变时,时空坐标互相变换,三维空间和一维时间构成一个统一体四维时空.由此可得出:四维空间矢量:X:(,Y,z,ict)四维电流密度矢量:J=(J,J,icp)四维势矢量:A=(A,A,A,)3)物理规律的协变性如果一个方程的每一项都属于同类协变量,在参考系变换下,每一项都按相同的方式变换,结果保持方程形式不变的性质称为协变性.4)电动力学基本方程的四维形式定义ZJ=V2-导=去麦,则电荷守恒定律?J十=0=0(30)电动力学基本方程组zA一=J一号=一裹一.Jc3=05)电磁场张量电磁场E和口用势可表为fB=A1E一引入一个反对称四维张量瓮一则电磁场构成一个四维张量0B3B,一B3B2C0BtBt.C0E,0大学物理(32)电磁场张量可把麦斯韦方程组写为明显的协变形式:等(33)一0.,(33J鬻+鬻+鬻:0,酉十面+(34)5?2复矢量电磁场的相对论协变性1)复矢量电磁场的四维形式由定义式(4)可得式(5)F:,E+:B,0上式可写为四维形式iaca2)相对论协变性由式(27)得iafaaa2LlJ(35)由则iaaaaaa2一i100fJf700i10l00j00l0j【一i00),j第26卷(36)一,a堍一一一寺喘专一一一端一端一一一一k一.塑一aa一a一茜a.一ca一巩.一c一旦a.一c一三0010毒毒专一三川a.一二三一一一一三一旦一而F.,J,0,f,laa一一旦a三一.一f一巩.一f一三三三一,L,y,.,r第4期许冰等:电磁场的复矢量表示可得令则y00一i01000010i00y将式(36),(37)代入式(35)有0一00700001yilifJFFF0:110000yi00一iy00001aaaia(37)(38)即iddaiaaaaaddaaiaaaiai,f式(38)即为F的相对论变换关系6总结F.3F.F:0(39)(40)由以上推导可以看出,原电动力学中电磁场用一个四维张量来表示,较为复杂.而在电磁场用一个复矢量表示后,电场和磁场被视为一个整体,深刻地揭示了电场和磁场的矛盾统一性,电动力学中的结论在这里也都可以用复矢量形式表示出来,更加简便易懂.参考文献1王鑫.关于光子角动量问题的来信(二)J.大学物理,1998,17(1):33.2郭硕鸿.电动力学M.北京:高等教育出版社,1979.ThecomplexvectorexpressionofelectromagneticfieldxuBing,YANLiang,LIULihua3(1.EditorialOfficeof(CollegePhysics),Beijing100875,China;2.HigherEducationPress,Beijing100029,China;3.DepartmentofPhysics,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083.China)Abstract:Thecomplexvectorexpressionofelectro