高考数学复习方案 第2单元第14讲 导数的应用课件 理 北师大版.ppt

第14讲 导数的应用 第14讲导数的应用 知识梳理 1 函数的单调性若函数f x 在某区间内可导 则f x 0 f x 在该区间上 f x 0 f x 在该区间上 反之 若f x 在某区间上单调递增 则在该区间上有 恒成立 若f x 在某区间上单调递减 则在该区间上有 恒成立 2 函数的极值 1 函数极值的定义 已知函数y f x 设x0是定义域内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 第14讲 知识梳理 单调递减 单调递增 f x 0 f x 0 极大值 y最大值 f x0 极大值点 如果在x0附近都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称 极大值点与极小值点统称为 2 求函数极值的方法 第1步 求导数f x 第2步 求方程f x 0的所有实数根 第3步 当f x0 0时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 第14讲 知识梳理 极小值 y最小值 f x0 极小值点 极值 极值点 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 第14讲 知识梳理 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上必有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图像 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 f x m恒成立等价于 f x m恒成立等价于 5 函数f x ax3 bx2 cx d a 0 有极大值为f x1 极小值为f x2 若函数有三个零点 则 函数有两个零点 则 函数有且仅有一个零点 则 是一条连续不断的曲线 极值 端点处的函数值f a f b m f x min m f x max f x1 0且f x2 0 f x1 0或f x2 0 f x1 0 要点探究 探究点1利用导数研究函数的单调性 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 点评 1 利用导函数的性质比用函数单调性的定义要方便 它是根据导函数的正负性确定函数的单调性 2 两个单调递增区间不能 并 起来 函数的单调性是函数在某一区间内的性质 讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行 第14讲 要点探究 变式题 如果函数y f x 的图像如图14 1 那么导函数y f x 的图像可能是 图14 1 图14 2 第14讲 要点探究 答案 a 解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况 依次是 正 负 正 负 即导函数的图像与x轴的位置应是 上 下 上 下 符合规律的只有a 思路 由原函数的图像变化趋势是 增 减 增 减 运用 增则正 减则负 规律 即可判断导函数的图像 点评 解决此类问题时 审题应看清已知条件是导函数还是原函数 然后用 导数的正负性决定原函数的增减性 原则进行判断 第14讲 要点探究 变式题 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 思路 1 通过解f x 0求单调递增区间 2 转化为f x 0在r上恒成立问题 求a 3 假设存在a 则f 0 是f x 的极小值 或转化为恒成立问题 第14讲 要点探究 解答 1 f x ex a 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的递增区间为 lna 2 f x 在r内单调递增 f x 0在r上恒成立 ex a 0 即a ex在r上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 综上所述 a 1 方法二 由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 经检验a 1符合题意 第14讲 要点探究 点评 已知函数f x 在某区间内单调求参数问题 常转化为其导函数f x 在该区间内大于等于0 单调增函数 或小于等于0 单调减函数 恒成立问题 有时问题也可以借助集合的思想解决 探究点2利用导数研究函数的极值与最值 第14讲 要点探究 例2已知a r 讨论函数f x ex x2 ax a 1 的极值点的个数 解答 f x ex x2 ax a 1 ex 2x a ex x2 a 2 x 2a 1 令f x 0得x2 a 2 x 2a 1 0 1 当 a 2 2 4 2a 1 a2 4a a a 4 0 即a4时x2 a 2 x 2a 1 0有两个不同的实根x1 x2 不妨设x1 x2 于是f x ex x x1 x x2 从而有下表 第14讲 要点探究 即此时f x 有两个极值点 2 当 0即a 0或a 4时 方程x2 a 2 x 2a 1 0有两个相同的实根x1 x2 于是f x ex x x1 2 故当x0 当x x2时f x 0 因此f x 无极值 3 当 0 f x ex x2 a 2 x 2a 1 0 故f x 为增函数 此时f x 无极值 因此当a 4或a 0时 f x 有两个极值点 当0 a 4时 f x 无极值点 第14讲 要点探究 例3函数f x ax3 6ax2 b在 1 2 上的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解答 由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 列表如下 第14讲 要点探究 由上表可知 当x 0时 f x 取得极大值 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 3 即b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3 f 2 f 1 x 2时函数在 1 2 上取得最大值 f 2 16a 29 3 a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 第14讲 要点探究 变式题 2010 宝鸡模拟 已知函数f x axlnx在点 e f e 处的切线与直线y 2x平行 其中e 2 71828 g x x2 tx 2 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 在 n n 2 n 0 上的最小值 3 对一切x 0 e 3f x g x 恒成立 求实数t的取值范围 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 探究点3导数在方程与不等式中的应用 例4 2010 广州模拟 已知函数f x x3 ax2 bx c在 0 上是减函数 在 0 1 上是增函数 函数f x 在r上有三个零点 且1是其中一个零点 1 求b的值 2 求f 2 的取值范围 3 试探究直线y x 1与函数y f x 的图像交点个数的情况 并说明理由 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 探究点4生活中的优化问题 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 点评 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 然后转化为导数模型求解 规律总结 第14讲 规律总结 1 函数的单调性 极值 最值都是定义域内的局部性质 因此利用导数讨论函数的性质时 首先要研究函数的定义域 再利用导数f x 解决 2 通过判断函数各区间内导数f x 的符号 可判断函数f x 在该区间上的单调性 若f 0 或f 0 则函数f在相应区间上是增加 或减少 的 3 根据极值的定义 导数为0且在该点两侧导数的符号相反 则该点是函数的极值点 利用导数求函数的极值时 通过导数为零的点将整个定义域分为若干个区间 然后将x f x f在每个区间内的变化情况列在一个表格中 通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值 是极大值还是极小值 所以在解题中注意表格的正确列法 第14讲 规律总结 4 根据最值的定义可知 函数的最值只可能在极值点取得 或者在区间的端点处取得 因此 求函数在闭区间内的最值时 只需要比较导数为0的点的函数值与端点值的大小 其中最大的值即为函数的最大值 最小的值即为函数的最小值 第14讲 规律总结 5 导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法 利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下 1 细致分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x 把实际问题转化为数学问题 即列出函数关系y f x 并根据实际问题中的限制条件确定y f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 得出方程所有实数根 3 比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小 确定其为最大值还是最小值 4 检验结果的实际意义 给出答案 第14讲 规律总结 6