高考数学理一轮复习 2.2 函数的单调性与最大（小）值精品课件 新人教A版.ppt

第二节函数的单调性与最大 小 值 1 理解函数的单调性 掌握判断一些简单函数的单调性的方法 2 学会运用函数图象研究函数的性质 感受应用函数的单调性解决问题的优越性 提高观察 分析 推理 创新的能力 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 2 单调性 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 2 函数的最值 增函数 减函数 区间d 1 下列说法正确的是 a 定义在 a b 上的函数f x 若存在x1 x2 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数b 定义在 a b 上的函数f x 若有无穷多对x1 x2 a b 使得当x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数c 若f x 在区间i1上为增函数 在区间i2上也为增函数 那么f x 在i1 i2上也一定为增函数d 若f x 在区间i上为增函数 且f x1 f x2 x1 x2 i 那么x1 x2 3 已知函数y f x 是定义在r上的增函数 则f x 0的根 a 有且只有一个b 有2个c 至多有一个d 以上均不对解析 f x 在r上是增函数 对任意x1 x2 r 若x1 x2 则f x1 f x2 反之亦成立 故若存在f x0 0 则x0只有一个 若对任意x r都无f x 0 则f x 0无根 答案 c 热点之一函数单调性的判定与证明用定义证明函数单调性的一般步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义得出结论 思路探究 可根据定义 先设 1 x1 x2 1 然后作差 变形 定号 判断 也可以求f x 的导函数 然后判断f x 与零的大小关系 热点之二求函数的单调区间1 求函数的单调区间 1 利用已知函数的单调性 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图象法 如果f x 是以图象给出的或者f x 的图象易作出 可直接由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间 2 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 课堂记录 1 依题意 可得当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 由二次函数的图象知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 在 1 0 1 上是减函数 3 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 当x11时 f x 0 f x 单调递增 当 1 x 11时 f x 0 f x 单调递减 f x 的递增区间是 1 11 递减区间 1 11 即时训练已知f x 8 2x x2 若g x f 2 x2 试确定g x 的单调区间和单调性 解法一 函数的定义域为r 分解基本函数为g x f t t2 2t 8和t 2 x2 显然g x f t t2 2t 8在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 而t 2 x2在 0 0 上分别单调递增和单调递减 且2 x2 1 x 1 根据复合函数的单调性规则 所以函数的单调增区间为 1 0 1 单调减区间为 1 1 0 解法二 g x 8 2 2 x2 2 x2 2 x4 2x2 8 g x 4x3 4x 令g x 0 得x1或 1 x 0 所以g x 的单调增区间为 1 0 1 单调减区间为 1 1 0 热点之三利用函数的单调性 求参数的取值范围依据函数单调性的定义 对给定区间内的任意两个不相等的自变量对应的函数值作差 满足函数关系式的自变量必须在定义域内 这是一个容易被忽视的问题 通过构造关于参数的不等式进行求解 在求抽象函数中的参数的范围时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 得到关于参数的等量关系或不等关系 热点之四函数的最值与值域求函数最值 值域 常用的方法和思路 1 单调性法 先定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数在给定区间上的图象 再观察其最高 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 思路探究 当x1 x2 2或2 x1 x2时 f x 递增 当 2 x1 x2 0或0 x1 x2 2时 f x 递减 故x 2时 f x 极大 f 2 4 x 2时 f x 极小 f 2 4 所求函数的值域为 4 4 函数无最值 故f x 的最小值为min f 2 f 3 而f 2 12 2 2 3 16 f 3 12 3 33 9 故函数的最小值为 16 答案 1 a 2 16 函数的单调性及函数最值是高中数学函数中的重要内容 是高考命题热点之一 从新课改省份的高考信息统计可以看出 考查呈以下特点 1 选择题 填空题 解答题 与导数结合 三种题型都有可能出现 2 考查形式主要体现为利用单调性定义 导数或常见函数的单调性及重要结论判断函数单调性 利用单调性比较函数值的大小 解决求函数最值或不等式恒成立问题 2 2009 海南 宁夏高考 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则