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第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线的方程代入曲线的方程 消去y或者消去x 得到一个关于x 或y 的方程ax2 bx c 0 1 交点个数 当a 0或a 0 0时 曲线和直线只有一个交点 当a 0 0时 曲线和直线有两个交点 当a 0 0时 曲线和直线没有交点 1 下列命题中假命题是 d d 2 下列各组两个椭圆中 其焦点相同的是 d 5 已知抛物线y2 6x的弦ab经过点p 4 2 且oa ob o为坐标原点 弦ab所在直线的方程为 x y 6 0 解析 依题意oa ob ab过定点 6 0 由两点式得弦ab所在直线方程为x y 6 0 考点1 弦长公式 互动探究 1 椭圆x2 4y2 4长轴上一个顶点为a 以a为直角顶点 1625 作一个内接于椭圆的等腰直角三角形 该三角形的面积是 考点2 点差法的应用 解析 1 设ab为斜率为2的任意一条弦 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点p x0 y0 1 本题的三个小题都设了端点的坐标 但最终没有求点的坐标 这种 设而不求 的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法 2 本例这种方法叫 点差法 主要用来解决三类题型 求平行弦的中点的轨迹方程 求过定点的割线的弦的中点的轨迹方程 过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程 3 本题中的 设而不求 的思想法和 点差法 也适用于双曲线和抛物线 互动探究 错源 忽视斜率不存在和与渐近线平行的特殊情形 误解分析 1 忽视直线的斜率不存在的情况 2 忽视平行于渐近线的情况 纠错反思 与双曲线只有一个公共点的直线有两种 一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线 另一种是与双曲线相切的直线也有两条 互动探究 解 1 圆m x 2 2 y2 64 圆心m为 2 0 半径r 8 am 4 am 圆心c的轨迹是中心在原点 以a m两点为焦点 长轴长为8的椭圆 设其方程为 图12 5 2 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲线的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的能力 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时 我们经常用到如下解法 设弦的两个端点坐标分别为 x1 y1 x2
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