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中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值设连续，其中。若存在，当时，有，称为的极大点；若存在，当时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为极值点。2、极限的保号性定理定理 设，则存在，当时，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。【证明】设，取，因为，由极限的定义，存在，当时，于是。3、极限保号性的应用【例题1】设，讨论是否是极值点。【例题2】（1）设，讨论是否是的极值点；（2）设，讨论是否是的极值点。【解答】（1）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。显然不是的极值点。（2）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。显然不是的极值点。【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。【结论2】设可导函数在处取极值，则。二、一阶中值定理定理1（罗尔中值定理）设函数满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。【注解】（1）中值定理的等价形式为：，其中；，其中。（2）对端点有依赖性。（3）端点可以是变量，如，其中是介于与之间的的函数。定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得 。题型一：证明【例题1】设，证明：存在使得。【例题2】设曲线，在内二阶可导，连接端点与的直线与曲线交于内部一点，证明：存在，使得。【例题3】设，在内可导，且，证明：存在，使得。题型二：结论中含一个中值，不含，且导出之间差距为一阶【例题1】设，在内可导，证明：存在，使得。【例题2】设，在内可导，证明：存在，使得。【例题3】设，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。题型三：含中值情形一：含中值的项复杂度不同【例题1】设，在内可导，且，证明：存在，使得。【例题2】设，在内可导，证明：存在，使得。情形二：含中值的项复杂度相同【例题1】设，在内可导，且。（1）证明：存在，使得。（2）证明：存在，使得。【例题2】设，在内可导，且，证明：存在，使得。三、高阶中值定理泰勒中值定理背景：求极限。定理4（泰勒中值定理）设函数在的邻域内有直到阶导数，则有，且，其中介于与之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，若，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。特别地，若，则称，为马克劳林公式，其中。【注解】常见函数的马克劳林公式1、。2、。3、。4、。5、。6、专题一：泰勒公式在极限中的应用【例题】求极限。专题二：二阶保号性问题设函数的二阶导数，这类问题主要有两个思路：思路一：设，则单调增加【例题1】设在上满足且，证明：对任意的有。【例题2】设在上满足且，证明：在内有且仅有一个零点。思路二：重要不等式设，因为，所以有 ，其中等号
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